Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ИНТЕГРИРОВАНИЕ МЕТОДОМ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла ∫f(x)dx в интеграл ∫ F(u)du, который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла ∫f(x)dx заменяем переменную х новой переменной u с помощью подстановки x=φ(u). Дифференцируя это равенство, получим dx=φ ′ (u)du. Подставляя в подынтегральное выражение вместо x и dx их значения, выраженные через u и du, имеем:

После того как интеграл относительно новой переменной u будет найден, с помощью подстановки u=ψ(x) он приводится к переменной х.

Пример. Найти следующие интегралы:

1) ∫(3 х +2)⁵ dx; 2)∫(2 x ³+1)⁴ x ² dx;

3) ; 4) .

1) введем подстановку 3 х +2= u. Дифференцируя, имеем 3 dx=du, откуда dx= (1/3) du. Подставив в данный интеграл вместо 3 х +2 и dx их выражения, получим

Заменив u его выражением через х, находим

Проверка:

2) Положим 2 х³+ 1= u, откуда 6 x²dx=du, x²dx= (1/6) du. Таким образом,

3) Пологая x ²+1= u, имеем 2 xdx=du,xdx= (1/2) du. Значит,

4) Положим 5х³ +1= u, откуда 15x²dx = du,x ² dx= (1/15) du. Поэтому