Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Многоканальная система массового обслуживания с отказами

Допустим, что система имеет п каналов и работает с отказом. Строим граф состояний (рис. 5.2)

Из графа состояний видно, что перевод системы слева направо осуществляется с плотностью λ, что обусловлено независимостью потока заявок от числа каналов обслуживания. Обратный перевоз системы справа налево осуществляется с суммированной плотностью кμ (суммируются потоки от всех занятых каналов).

…… ……

где к - число занятых каналов.

Рис. 5.2. Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Применяя мнемоническое правило «что вытекает, то и втекает» получаем:

для к=0: Р₀ = μР₁; Р₁= Р₀ = λ Р₀ : Р₀ = Р₁

для к=1: λ Р₁ + μР₁ = λ Р₀ +2 μР₂; 2 μР₂= λ Р₁ + μР₁ - λ Р₀

2 μР₂= λ Р₁ + μР₁ - λ Р₁; Р₂ = Р₁= Р₁= Р₀

для к=2: λ Р₂+2 μР₂ = λ Р₁ +3 μР₃; 3 μР₃ = λ Р₂ +2 μР₂ - λ Р₁;

3 μР₃ = λ Р₂+ μР₂ - λ Р₂; Р₃ = Р₂ = Р₂ = Р₀

Аналогично и для к и п занятых каналов. В общем случае можно записать

Число занятых каналов	Приведенное правило «что вытекает, то и втекает»	Вероятности состояний для многоканальной системы с отказами
к=0	λ Р0 = μР1	Р1= Р0
к=1	λ Р1 = 2μР2	Р2= Р1 = Р0
к=2 : : к - 1 : : п - 1	λ Р2 = 3μР3 : : λ Рк-1 = кμРк : : λ Рп-1 = пμРп	Р3 = Р2 = Р0 : : Рк = Рк-1 = Р0 : : Рп = Рn-1 = Р0

Сумма вероятностей всех состояний должна быть = 1 потому

. (5.17)

Пример: смотри условие предыдущего примера, только п = 2 (λ = 5; μ = 3; п = 2).

Решение:

1. Определяем параметр α, то есть приведенную плотность

1,67

2. Определим вероятность состояния х₀, то есть полного простоя станции

0,246

Следовательно, 24,6% времени станция будет полностью простаивать (в предыдущем примере Р₀ = 0,375)

3. Определим вероятность других состояний

Р₁ = α Р₀= 1,67·0,246 = 0,41; 0,344

Проверка

0,246 + 0,41 + 0,344 =1 (верно)

4. Вероятность отказа системы

Р_отк= Р₂ =0,344

То есть, 34,4% получают отказ (в предыдущем примере Р_отк =0,625)

5. Относительная пропускная способность

q_отн = 1- Р_отк = 1 - 0,344 = 0,656

То есть, 65,5% автомобилей будут обслужены (в предыдущем примере 37,5%)

6. Определяем абсолютную пропускную способность станции:

за 1 ч → Q_абс = λ · q_отн = 5 · 0,656 = 3,28 авт./час

за 10 ч → 32,8 авт. (в предыдущем примере ≈ 19 авт.)

7. Определяем номинальную (max) пропускную способность станции

Q_max = μ·t·n = 3·10·2 = 60 авт.

8. Отношение = = 1,83 (в предыдущем примере -1,6)

9. Определим среднее число занятых каналов

М(к) = = 1 · 0,41 + 2 · 0,344 = 1,098 каналов.