Читайте также: |
|
Пусть L — линейное действительное пространство и x1 L x2 L Замкнутым отрезком (или сегментом) в L, соединяющим точки x1 и x2, называется совокупность элементов вида
W = ϑ x1 + 1- ϑ x2 = x2 + ϑ x1 - x2, 0 ϑ 1.
В случае 0 ϑ 1 имеем открытый отрезок.
Множество A L называется выпуклым, если выполняется следующее соотношение
x1, x2 A ϑ x1 + 1 - ϑ x2 A, ϑ: 0 ϑ 1.
Таким образом, выпуклое множество вместе с любыми своими двумя точками должно содержать и отрезок, соединяющий эти точки. Очевидно, само пространство L — выпукло.
Ядром J E произвольного подмножества E L называется множество, удовлетворяющее следующим условиям: x J E тогда и только тогда, когда для y L существует число такое, что для всех t,
x + ty E.
Здесь y задает направление, а число t — продвижение по этому направлению. Очевидно, элементы ядра принадлежат E, но не все элементы E входят в ядро.
Множество E L называется телом, если J E . Если выпуклое множество E — тело, то оно называется выпуклым телом.
Примеры.
1. В пространстве R³ куб и шар являются примерами выпуклых тел. Отрезок, плоскость, треугольник в том же пространстве — выпуклые множества, но не выпуклые тела.
2. Рассмотрим множество C непрерывных на отрезке a, b функций и его подмножество, удовлетворяющее условию G = f C/ 1. (Сами функции из G вовсе не обязаны быть выпуклыми в обычном смысле.) Можно доказать, что G — выпуклое тело.
Докажем утверждение из примера 2. Множество G — выпукло. Действительно, если g, f G, то 1, 1. При 0 ϑ 1 имеем = 1. Таким образом, отрезок, соединяющий точки g, f, также входит в множество G и, следовательно, G — выпукло. Проверим, является ли это множество выпуклым телом. Для этого необходимо и достаточно доказать, что J G . Рассмотрим во множестве G функцию, f тождественно равную нулю. Покажем, что f J G и, следовательно, J G .. Действительно, рассмотрим g C и выражение f + tg tg. Ясно, что 1 при 1. Таким образом, G — выпуклое тело.
Теорема 1.5. Пересечение любого числа выпуклых множеств есть выпуклое множество.
Доказательство ясно. Пересечение выпуклых тел, будучи выпуклым множеством, также будет выпуклым множеством, но выпуклым телом может и не быть. Например, если рассечь куб в трехмерном пространстве плоскостью, то обе части куба будут выпуклыми телами, а само сечение — нет.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 24 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |