Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале [4,5].
Решение. Так как P(4<X<5)=F(5)-F(4)=1-1=0, то данная величина Х таких значений не принимает.
59. Задача. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией
.
Найти параметр с.
Решение. Плотность вероятности должна удовлетворять условию нормировки, а именно 
Подставляя наше значение f(x), получаем
Откуда 
. Неопределенный интеграл является табличным 
Вычислим несобственный интеграл 
Следовательно, c=1/π; и плотность распределения имеет вид 
60. Задача. Функция распределения случайной величины Х имеет вид 0 при x<0
F(x)= 
при x>0
Найти её плотность распределения.
Решение. Плотность распределения и функция распределения связаны соотношением f(x)= dF(x)/dx. Отсюда 
61. Задача. Найти функцию распределения F(x) случайной величины Х, плотность вероятности которой определена формулой 0 при х<0, x>2
p(x) = x при 0<x<1
2-x при 1<x<2
Решение. Плотность вероятности и функция распределения связаны соотношением f(x)= dF(x)/dx.
При х < 0 получаем 
При 0<x < 1 получаем 
Когда 1<x < 2, то 
При x>2 Получаем 
Таким образом, функция распределения имеет вид
0 при x < 0
F(x) = X2/2 при 0<x < 1
-x2/2+2x-1 при 1<x < 2
1 при x>2
62. Задача. Найти математическое ожидание случайной величины Y=2X+7, если известно, что М(Х)=4.
Решение. Пользуясь свойствами мат.ожидания, получаем M(Y)=M(2X+7)=M(2X)+M(7)=2M(X)+7=2*4+7=15.
63. Задача. Подбрасывается два игральных кубика. Дискретная случайная величина Х – сумма очков, выпавших на обоих кубиках. Найти математическое ожидание этой случайной величины.
Решение. Данная случайная величина принимает все целые значения от 2 до 12. Закон её распределения задан таблицей
| X | |||||||||||
| P | 
| 2/36 | 3/36 | 4/36 | 5/36 | 6/36 | 5/36 | 4/36 | 3/36 | 2/36 |
|
По формуле математического ожидания находим
64. Задача. Найти математическое ожидание случайной величины Х, если известна функция распределения этой величины 0 при х<0
F(x)= x2 при 0<x<1
1 при x>1
Решение. Найдём сначала значение функции плотности, зная соотношение f(x)= dF(x)/dx.
0 при x < 0
2x при 0<x < 1
0 при x>1.
Следовательно, 
65. Задача. Найти математическое ожидание случайной величины Х, плотность распределения которой задана функцией
(-∞ <x<+∞).
Решение. По формуле для математического ожидания получаем 
поскольку 
Следовательно, для данной величины M(X)=0.
66. Задача. Закон распределения случайной величины Х задан таблицей
| Х | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| p | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
Вычислить дисперсию случайной величины двумя способами.
Решение. Сначала найдем мат.ожидание случайной величины Х
Запишем закон распределения СВ (X-M(X))2
| (X-M(X))2 | (-2-0)2 | (-1-0)2 | (0-0)2 | (1-0)2 | (2-0)2 |
| P | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 0,2 | 0,1 |
И найдём дисперсию случайной величины Х
Второй способ (по методу моментов) D(X)=M(X2)-M2(X).
Квадраты значений случайной величины Х принимают значения (-2)2=4; (-1)2=1; (0)2=0; (1)2=1; (2)2=4 и тогда её закон распределения будет
| Х2 | |||
| Р | 0,4 | 0,4 | 0,2 |
Тогда её математическое ожидание будет M(X2)=0*0,4+1*0,4+4*0,2=1,2.
И тогда дисперсия D(X)= 1,2-0=1,2.
67. Задача. Найти числовые характеристики M(x),D(x), σ(x) случайной величины X, заданной плотностью распределения
0 при x<2
f(x)= 0,5 при 2<x<4
0 при x>4
Решение. Сначала находим мат.ожидание случайной величины
Тогда 
68. Задача. Найти числовые характеристики M(x),D(x), σ(x) случайной величины X, заданной плотностью распределения
0 при x<0
f(x)= 2х при 0<x<1
0 при x>1
Решение. Находим математическое ожидание СВ Х
Тогда 
69. Задача. Случайная величина Х задана функцией распреде-ления
0 при x<0
F(x)= х 3 при 0<x<1
1 при x>1
Найти числовые характеристики M(x),D(x), σ(x) случайной величины X.
Решение. Сначала найдем плотность распределения из F(X) зная, что f(x)= dF(x)/dx
Тогда математическое ожидание будет равно
И дисперсия 
70. Задача. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
| X | ||
| p | 0,4 | 0,6 |
Найти центральные моменты первого, второго и третьего порядка случайной величины Х.
Решение. В соответствии с определениями эти величины будут
Вычислим центральные моменты. Известно, что 
А 
2,8-(1,6)2=0,24.
71. Задача. Вероятность попадания в цель составляет при отдельном выстреле p=0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести выстрелах.
Решение.
Применим формулу Бернулли
72. Задача. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 80%. Какова вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдет не меньше 4?
Решение. Применим формулу Бернулли
Условие задачи гласит о том, что взойти могут и 4 и 5 семян, поэтому итоговая вероятность будет получена в виде суммы двух вероятностей
73. Задача. По данным ОТК на 100 металлических брусков, заготовленных для обработки, приходится 30 с зазубринами. Какова вероятность того, что из случайно взятых 7 брусков окажется без дефектов не более 2?
Решение. Обозначим через А событие «на бруске отсутствуют зазубрины», тогда Р(А)=0,7 или p=0,7, q=0,3. Число испытаний n=7, k < 2, то есть может принимать значения 0, 1, 2. Находим искомую вероятность:
74. Задача. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Найти Р(Х=3), если а=4, а также математическое ожидание и дисперсию величины Х.
Решение. Согласно закона Пуассона
75. Задача. Производятся независимые испытания, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью р=0,002. Какова вероятность того, что при 1000 испытаниях событие А появиться 5 раз?
Решение. По условию задачи определяем параметры распределения n=1000, p=0,002, k=5. Так a=np=1000*0,002=2? То 
=0,2667*0,1354=0,0361.
76. Задача. Прядильщица обслуживает 1000 веретён. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течении минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течении одной минуты обрыв произойдёт более чем на трёх веретенах.
Решение. По условиям задачи имеем n =1000, p=0,002, значит a=n*p=1000*0,002=2/ Тогда
Применяя формулу Пуассона, получаем
77. Задача. Производятся независимые испытания, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р=0,01. Найти вероятность того, что в 100 испытаниях событие А появится соответственно 1, 3, 5 раз, не появится ни разу.
Решение. При подсчёте искомых вероятностей будем пользоваться рекуррентной формулой
Которая получается следующим образом
При а=1 эта формула приобретает вид
Если известна вероятность Pn(0), то с помощью формулы можно легко вычислить все последующие значения вероятности. Из условия задачи следует, что n=100, p=0,01 и значит a=np=100*0,01=1. Тогда 
78. Задача. На факультете обучается 700 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днём рождения одновременно для двух студентов?
Решение. Поскольку n=500 является достаточно большим, а p=1/365 достаточно малой величиной, то можно считать число студентов, родившихся 1 сентября, подчинено распределению Пуассона с параметром a=np=500/365=1,36986
79. Задача. На факультете обучается 700 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днём рождения одновременно для пяти студентов?(по аналогии с задачей 78)
80. Задача. Найти математическое ожидание для случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на отрезке [α,β].
Решение. По формуле для мат.ожидания находим
81. Задача. Найти дисперсию для случайной величины Х, имеющей равномерное распределение на отрезке [ α,β ].
Решение. Принимая во внимание, что 
, получаем выражение для дисперсии
82. Задача. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [-2,3]. Найти функцию распределения F(x) этой случайной величины.
Решение. Функция распределения F(X) случайной величины, равномерно распределенной на отрезке 
. И тогда мы, учитывая что α=-3, β=2, β-α=2+3=5 получим
83. Задача. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, равномерно распределенной на участке [1,7].
Решение. Математическое ожидание равномерно распределенной на участке 
случайной величины X определяется формулой
84. Задача. Определить плотность распределения вероятностей и функцию распределения нормальной случайной величины Х, если М(Х)=3, D(X)=4.
Решение. Из условия следует, что a=M(X)=3, σ(X)=2. Подставляя эти значения в формулу плотности вероятности, получим 
Функция распределения тогда 
85. Задача. Случайная величина Х распределена по нормаль-ному закону, причем М(Х)=10, а D(X)=4. Найти P(12<x<14).
Решение. Из условия вытекает, что a=10, 
0,477250-o,341345=0,135905.
86. Задача. Случайная величина Х распределена по нормаль-ному закону с М(Х)=10. Найти P(0<x<10), если известно P(10<x<20)=0,3.
Решение. Из условия задачи мы имеем а=10 и нечётность функции Лапласа. По условию 
, поэтому
Так как 
87. Задача. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а=375 г., σ=25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет от 300 до 425 г.
Решение. 
88. Задача. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а=375 г., σ=25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет не более 450 г.
Решение. 
89. Задача. Вес пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами а=375 г., σ=25 г. Найти вероятность того, что вес одной рыбы будет больше 300 г.
Решение. 
90. Задача. При измерении детали получаются случайные ошибки, подчиненные нормальному закону распределения с параметром σ=5 мм. Найти вероятность того, что очередное измерение произведено с ошибкой не более 7 мм.
Решение. Для решения задачей используем формулу
В данном случае σ=10, δ=15 и мы имеем
91. Задача. Станок-автомат изготавливает детали, контролируя их диаметр. Считая, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а=10 мм и σ=0,1 мм, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 заключены диаметры изготовленных деталей.
Решение. Воспользуемся формулой
В данном случае известно а=10, σ=0,1; 
Требуется определить δ и интервал (а-δ, а+δ). По таблице функции Лапласа находим, что δ/σ=3. Это вытекает из равенства 
Следовательно δ=3σ=0,3. Из неравенства 
вытекает -0,3 
Значит, искомым интервалом является (9,7;10,3)
92. Задача. Найти P(|X-a|<σ) для случайной величины, распре-деленной по нормальному закону с параметрами а и σ.
Решение.
93. Задача. Независимые случайные величины X,Y, Z распре-делены нормально, причём M(X)=1, D(X)=2; M(Y)=-2, D(Y)=3;
M(Z)=5, D(Z)=4.Записать плотность вероятности и функцию распределения их суммы.
Решение. Так как M(X+Y+Z)= M(X)+M(Y)+M(Z)=1+(-2)+5=4, D(X+Y+Z)=D(X)+D(Y)+D(Z)=2+3+4=9; то сумма имеет нормальное распределение с параметрами a=4 и Ϭ=3.
94. Задача. Найти вероятность того, что нормальная случайная величина с математическим ожиданием, равным 3, и диспер-сией, равной 4, примет значение в интервале (-1,5).
Решение. Воспользуемся формулой
Поскольку 
95. Задача. Найти вероятность того, что нормальная случйная величина с математическим ожиданием, равным 3, и диспер-сией, равной 4, примет значение не более 8.
Решение. Воспользуемся формулой
Поскольку 
96. Задача. Найти вероятность того, что нормальная случйная величина с математическим ожиданием, равным 3, и диспер-сией, равной 4, примет значение не менее 3.
Решение. Воспользуемся формулой
Поскольку 
97. Найти математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по геометрическому закону.
Решение. В соответствии с формулой математического ожидания 
имеем
Поскольку члены ряда 
Следовательно
M(X)=1/p, p>0.
98. Найти вероятность попадания в интервал (a, b) значений случайной величины Х, распределенной по показательному закону.
Решение. Воспользуемся формулой
. Так как 
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 133 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| ВОПРОС 5 | | | Система показателей оценки состояния бюджетов муниципальных образований |