Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Математическое моделирование

Читайте также:
  1. АДМИНИСТРАТИВНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
  2. Биноминальное распределение. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной случайной величины.
  3. Вопрос 12 Моделирование взаимосвязей в детерминированном факторном анализе.
  4. Геометрическое моделирование и компьютерная графика
  5. Имитационное моделирование развития ВХС
  6. Математика и математическое образование в современном мире
  7. Математическое введение в теорию цепей Маркова
  8. Математическое моделирование. Современное состояние. Проблемы.
  9. Математическое обеспечение.

С целью познания закономерностей работы некоторого объекта или природного явления проводятся эксперименты самого различного вида. Цель эксперимента - выявление главных закономерностей явления и формирование на его основе некоторой математической модели. Очень часто на практике встречаются ситуации, когда объект исследования либо принципиально недоступен для наблюдения, либо проведение такого эксперимента дорого. Примерами таковых могут служить эксперименты по изучению внутреннего строения Земли, на основе которых можно было бы прогнозировать месторождения полезных ископаемых, предсказывать время и место разрушительных землетрясений. Отметим, что глубина самых глубоких шахт, пробуренных при помощи современнейшего оборудования, не превышает 20 км, а средний радиус Земли равен 6371 км. Таким образом, для непосредственных наблюдений колебаний Земли доступна лишь небольшая ее приповерхностная часть. При этом необходимо делать заключение о свойствах Земли (например, об изменении ее плотности с глубиной) по измеренным в ходе эксперимента косвенным проявлениям. Похожая ситуация возникает в проблемах неразрушающего контроля изделий и конструкций, когда требуется выявить дефект (трещину или полость) внутри работающего объекта (самолета, ракеты или ядерного реактора).

Другой пример - это медицинские исследования, направленные на выявление патологий внутренних органов человека.

У описанных выше примеров есть нечто общее - мы хотим определить причины, если известны полученные в результате экспериментов или наблюдений следствия. С точки зрения соотношения причина-следствие все задачи математического моделирования можно условно разделить на два больших класса: прямые задачи (известны причины, необходимо найти следствия) и обратные (известны следствия, нужно найти причины).

К прямым задачам относятся, например, задачи расчета механических, тепловых, электромагнитных полей для тел, свойства которых и конфигурация известны. Эти задачи к настоящему времени достаточно хорошо изучены.

К обратным задачам относят задачи определения некоторых физических свойств объектов, таких, как плотность, коэффициент теплопроводности, упругие модули в зависимости от координат или в виде функций других параметров. Процедура решения таких задач, состоящих в обращении причинно-следственных связей, связана с преодолением серьезных математических трудностей. Успех ее сильно зависит как от качества и количества полученной из эксперимента информации, так и от способа ее обработки. Заметим, что без умения решать прямые задачи невозможно подойти к обратным.

Решение обратных задач проводится, как правило, в рамках некоторой математической модели исследуемого объекта. Оно состоит в определении либо коэффициентов дифференциальных уравнений, либо области, в которой действует оператор, либо начальных условий, либо сочетания приведенных выше причин.

Пример1 обратной задачи. На поверхности исследуемого объекта имеются источник колебаний и их приемник, который регистрирует волны как непосредственно пришедшие от источника, так и отраженные от дефекта (полость, включение из другого материала, трещина). Обратная задача состоит в определении по известным амплитуде и фазе регистрируемого сигнала геометрической границы дефекта и выявлении его структуры.

Пример2. Существуют еще два важных типа обратных задач, несколько обособленных от рассмотренных ранее, - это проектирование технических объектов и управление системами.

Примеры 1 можно трактовать как обратная задача идентификации, то есть определения свойств объекта; пример 2 относится к задачам типа проектирования. Между этими двумя типами существует принципиальное отличие. Для задач проектирования и управления расширение множества допустимых решений обычно улучшает ситуацию, поскольку в них требуется найти любое технически выполнимое решение, обеспечивающее критерий качества с необходимой точностью. При решении обратных задач типа идентификации расширение класса возможных решений приводит к увеличению погрешности определения причинных характеристик. Учет же априорной информации, то есть дополнительных сведений о свойствах исследуемого объекта, приводит к сужению класса возможных решений и, как правило, к снижению погрешности определения нужных характеристик.

Обратные задачи обладают рядом неприятных с математической точки зрения особенностей. Во-первых, они, как правило, нелинейны, то есть неизвестная функция или неизвестный параметр входит в операторное или функциональное уравнение нелинейным образом. Во-вторых, решения обратных задач обычно неединственны. Для обеспечения единственности часто необходимо требовать избыточности экспериментальной информации, например при определении формы полости в теле при помощи регистрации отраженных волн необходимо знание отраженного поля в некотором диапазоне изменения частоты w0 k [w1, w2]. На практике же мы можем измерить отраженное поле в достаточно большом, но конечном наборе частот на отрезке [w1, w2], что может привести к неединственности восстановления формы полости, появлению посторонних или, как называют их в ультразвуковой диагностике, "фантомных" решений.

В-третьих, обратные задачи не являются корректными.

Понятие корректной задачи, являющееся одним из важнейших понятий современной математики, было сформулировано французским математиком Ж. Адамаром (1923 год). Оно означает, что решение задачи существует и единственно на некотором множестве, а также непрерывно зависит от входных данных. Смысл первого условия (существование решения) состоит в том, что среди исходных данных нет противоречащих друг другу условий, исключающих возможность решения задачи. Второе условие (единственность) означает, что данных достаточно для однозначной определенности решения задачи. Третье условие (непрерывная зависимость от исходных данных) означает, что малые изменения в данных приводят к малым изменениям в решении. Задачи, не удовлетворяющие хотя бы одному из условий корректности, называются некорректными. В обратных задачах, как правило, отсутствует непрерывная зависимость от исходных данных в отличие от прямых задач. Поскольку входной информацией в обратных задачах являются экспериментальные данные, определяемые с некоторой погрешностью, которую не всегда можно оценить, то решение обратной задачи с "испорченными" входными данными может сильно отличаться от точного решения. В этой ситуации на первый план выходят способы математической обработки входной информации.

Некорректность присуща обратным задачам почти всегда; в одних случаях она может быть преодолена весьма просто, в других вообще требует переосмысления понятия самого решения.

Обратные задачи математической физики - бурно развивающаяся в настоящее время часть современной математики, сформировавшаяся в основном в последние (35-40) лет, хотя первые работы относятся к 30-м годам 20 столетия. Все большая часть математических моделей приобретает стройность и достоверность как раз благодаря достижениям теории обратных задач. Так, с ее помощью достигнут впечатляющий прогресс в компьютерной томографии. Стремительное распространение этого метода обусловлено его эффективным применением в медицине, биологии, диагностике плазмы. Внедрение метода компьютерной томографии произвело революцию в медицинской диагностике и электронной микроскопии биологических макромолекул. Создание компьютерных томографов (А. Кормак и Г.Н. Хаунсфилд) и их применение в биохимии (А. Клуг) отмечены Нобелевскими премиями (1979 и 1982 годы).

Первые обратные задачи были решены в связи с проблемами геофизики и разведки полезных ископаемых.

Задачи ультразвукового неразрушающего контроля также требуют совершенствования моделей в связи с широким внедрением в практику композиционных материалов, которые обладают различными механическими свойствами по различным направлениям (анизотропией), что влечет за собой усложнение алгоритмов решения обратных задач рассеяния.

 

Оценка остаточного ресурса и назначение нового продлённого срока службы проводится после проверки и определения технического состояния объекта (исправное, неисправное, работоспособное, неработоспособное, правильное функционирование, неправильно функционирующий объект) и выявления основных повреждающих факторов. Эксплуатация сложных технических систем (технологического оборудования) сопровождается деградацией конструкционных материалов.

Деградация – явление, наблюдающиеся в материалах с течением длительного времени и выражающееся в соответствующем снижении способности конструкции сопротивляться воздействию на неё различных нагрузок и, соответственно, снижающее остаточный ресурс оборудования.

На объектах трубопроводного транспорта выделяют следующие деградационные процессы, приводящие к потере работоспособности технологического оборудования:

-изменение геометрии конструкции или отдельных её элементов;

-поверхностное изнашивание или коррозийное повреждение;

-образование и развитие макродефектности;

-деградация (старение) механических свойств материалов.

В зависимости от действующего механизма деградационного процесса различают следующие виды предельных состояний:

-вязкое, усталостное или кратковременное хрупкое разрушение элемента или всей конструкции;

-предельная пластическая деформация металлоконструкции, обусловленная нарушением устойчивости несущих элементов, образованием «пластических шарниров» или явлениями ползучести. Всё это определяет необходимость прекращения эксплуатации конструкции;

-разгерметизация или течь конструкции.

Определяющими параметрами, приводящими к перечисленным видам предельных состояний, являются:

-напряжённо-деформированное состояние элементов конструкции;

-механические свойства конструкционных материалов;

-степень поражения коррозией;

-количество и размеры повреждений и дефектов.

 

Накопление повреждений (образование и развитие макродефектности)

 

Промышленная безопасность — это состояние защищенности жизненно важных интересов личности и общества от аварий и инцидентов. Мероприятия, направленные на обеспечение промышленной безопасности, разрабатываются в соответствии с нашими представлениями о разрушении нагруженных материалов.

До сих пор используется подход, сформулированный Галилеем в 1638году, это так называемая механическая концепция, основанная на представлениях классической механики: материал рассматривается как упругопластичная среда и принимается, что разрушение наступает при превышении напряжением σ критического значения, называемого пределом прочности σв , который определяется в режиме возрастающей нагрузки.

В 20-е годы предел прочности связывали с максимальными силами межатомного притяжения. Расчетная величина, названная теоретической прочностью имеет порядок 0,1Е, где Е — модуль Юнга. Теоретическая прочность на один-два порядка больше реального значения предела прочности. Это расхождение Гриффит предложил объяснить существованием в материале дефектов, которые локально увеличивают напряжения до теоретической прочности. Идеи Гриффита вылились в новое направление — механику разрушения, которая рассматривает предельное состояние тела с трещиной.

Существующая нормативная документация на сосуды и аппараты, работающие под давление, опирается на механическую концепцию:

безопасность (неразрушаемость) обеспечивается эксплуатацией при напряжениях ниже допускаемых [ σ ] = σв / n, где n > 1 — коэффициент запаса прочности.

Контроль технического состояния объекта направлен на поиск дефектов, несплошностей материала, повышающих напряжения. Это трещины, поры в сварных швах и в теле металла, коррозионные поражения в виде язв и другие. Обнаруженный дефект считается допустимым, если напряжения, возникающие вокруг этого дефекта, меньше допустимых σ < [ σ ]. Зависимость логики контроля от принятой механической концепции разрушения хорошо прослеживается на примере перегрузочных испытаний — гидравлических, пневматических, статических. Если объект выдержал перегрузку (нагрузку выше рабочей), значит предел прочности больше рабочих напряжений и, следовательно, продолжение эксплуатации будет безопасным.

В механической концепции как особые случаи рассматривают разрушения при напряжениях ниже предела прочности — это статическая и циклическая усталость, старение металла. Вводят поправки, устанавливаемые экспериментально.

В 1940-1970 годах было установлено, нагруженное тело необходимо рассматривать как метастабильную систему, которая эволюционирует за счет воздействия термостата (окружающей среды). Поэтому при разрушении необходимо учитывать не только работы приложенных сил, но и тепловой энергии.

В метастабильном состоянии с признаками равновесия тело может находиться долго, но из него возможен переход к истинному равновесию (распад метастабильности), которое характеризуется минимальной свободной энергией. Этот переход сдерживается некоторым барьером (энергией активации) U и требует притока в тело энергии для его преодоления из термостата, т.е. требуется термическая активация. Ожидание термической активации превращает распад метастабильного состояния в протекающий во времени кинетический процесс. Формами распада метастабильного состояния являются: пластическая деформация и трещинообразование. Это независимые термоактивированные процессы.

Пластическая деформация, связанная с движением дислокаций или с «переключением» межатомных связей, требует меньшей энергии активации и является более быстрым кинетическим процессом по сравнению с разрушением, заключающимся в разрыве межатомных связей. Она предшествует разрушению.

Представление о термической активации допускает разрушение при любом напряжении после определенного времени ожидания, зависящего от температуры, и как следствие из концепции термоактивированногоразрушения — ограниченность ресурса вне зависимости от вида нагружения и коррозионно-эрозионного воздействия окружающей среды.

Второй формой распада метастабильного состояния нагруженного тела является трещинообразование или разрыв сплошности. Трещина образуется не вследствие исчерпания материалом сопротивления разрушению, а с момента приложения нагрузки в течении всего времени жизни нагруженного материала. Различают два вида трещин: безопасные (стабильные повреждения) и опасные (растущие макротрещины).

Установлено, что начиная момента нагружения происходит делокализованное (т.е. рассеянное в объеме, приповерхностном слое, в области концентратора напряжений) множественное накопление стабильных повреждений, которые в конце концов приводят к зарождению макротрещин, которые начинают расти, прорастают через сечение объекта и приводят к разрушению, т.е. распаду тела на части и его полной разгрузке.

Такая двухстадийность обусловлена термоактивированной природой разрушения и присуща любым материалам: полимерам, металлам, сплавам, горным породам, бетону, древесине. Т.к. термической активации присущ случайный характер, то и повреждения образуются в теле хаотически. Увеличение числа повреждений сопровождается их кластеризацией, объединением. Повреждения увеличивают свой размер до тех пор, пока не образуются макротрещины, создающие локальную концентрацию напряжения. Зарождение макротрещин характеризуется достижением критического расстояния между накопленными повреждениями.

Как вы уже знаете, ресурс — наработка объекта до возникновения предельного состояния, при котором его дальнейшая эксплуатация недопустима или нецелесообразна. Эксплуатация технических устройств опасных производственных объектов с растущими трещинами запрещена и должна быть исключена. Отсюда, предельным состоянием следует считать стадию зарождения макротрещин, наступающую при накоплении критического числа повреждений N*. Если N — число повреждений за время t, то остаточный ресурс будет

N* - N.

Задачей технического диагностирования является нахождение, обнаружение, определение дефектных мест с повышенной скоростью накопления повреждений. При этом опасность дефекта характеризуется не его размером, а скоростью накопления повреждений в области дефекта и соответствующим ресурсом.

В качестве основных методов контроля развития дефектности в настоящее время используют: для ёмкостного оборудования – акустико-эмиссионный контроль, для машинного – контроль вибрационных параметров.

Регистрация накопления повреждений происходит в режиме эксплуатации производственного объекта при рабочих значениях напряжений и температуре.

Контроль в рабочем режиме позволяет отказаться от перегрузочных испытаний (например, гидравлических) как теста на прочность, которые, как известно, сокращают ресурс объекта, особенно в условиях коррозии.


 

Под предельным состоянием или отказом понимается любое нарушение или прекращение нормальной эксплуатации конструкции. По степени опасности различают предельные состояния первой и второй групп.

К предельным состояниям первой группы относятся хрупкое, усталостное и другое разрушение, потери устойчивости формы конструкции, а также ее разрушение под совместным действием силовых факторов и неблагоприятных условий окружающей среды. Предельные состояния первой группы ведут к прекращению эксплуатации конструкций, поэтому они носят четкий характер.

Предельные состояния второй группы характеризуются образованием и раскрытием трещин, а также чрезмерными прогибами, углами поворота и колебаниями конструкций. Они вызывают временное прекращение или частичное нарушение условий нормальной эксплуатации конструкций. Однако отсутствует четкая граница входа конструкций в предельное состояние второй группы.

Причинами входа конструкции в предельное состояние являются повреждения. По своему характеру повреждения конструкций можно разделить на постепенные, внезапные и смешанные. Причинами постепенных повреждений являются условия агрессивной окружающей среды и многократно повторяющаяся нагрузка. Внезапные повреждения вызываются повторными перегрузками и динамическими воздействиями некоторых нагрузок. Качеством конструкции называется совокупность свойств, определяющих степень ее пригодности для использования по назначению. Показателями качества являются не только прочность, жесткость и трещиностойкость, но и бездефектность, живучесть и приспособляемость конструкций.

Под бездефектностью конструкции понимается совокупность ее свойств, отвечающих конструктивным, технологическим и другим нормативно-техническим требованиям, не определимым расчетным путем.

Живучесть — свойство конструкции быть приемлемой к эксплуатации при наличии в ОК нерегулярных трещин. Приспособляемостью называется способность конструкции сопротивляться повторным и длительным случайным перегрузкам, уменьшающим ее сопротивление. Под надежностью понимается обобщенное свойство, характеризующее работоспособность конструкции, т. е. ее безопасность, эксплуатационную пригодность и долговечность при всех вероятностных отклонениях условий работы.

Безопасность — свойство конструкции сопротивляться в течение некоторого времени усилиям, вызываемым внешними воздействиями без создания опасности для жизни и здоровья людей или без вреда для окружающей среды. Расчетом на безопасность обеспечивается несущая способность конструкции, т. е. отсутствия предельных состояний первой группы. Эксплуатационная пригодность — свойство конструкции непрерывно сохранять требуемые эксплуатационные качества в течение некоторой наработки. Расчетом на эксплуатационную пригодность обеспечивается трещиностойкость и жесткость конструкции, т. е. отсутствия предельных состояний второй группы.

Долговечность — свойство конструкции сохранять работоспособность в течение длительного времени с учетом планируемых ремонтов, восстановлений и усилений.

Надежность конструкций связана с их наработкой на предельное состояние, под которой понимается продолжительность во времени Т работы элементов под нагрузкой и другими внешними воздействиями до первого предельного состояния. Наработка на предельное состояние является случайной величиной. Продолжительность службы конструкции до наступления первого предельного состояния при требуемой ее обеспеченности называется техническим ресурсом или сокращенно ресурсом. Применение вероятностно-статистических показателей качества конструкций позволяет инженеру решать две задачи. Во-первых, с помощью этих показателей можно дать вероятностную оценку качества конструкций в стадии проектирования и наряду с показателями стоимости, материало-, трудо- и энергоемкости более объективно оценить рациональность конструктивного решения зданий и сооружений. Во-вторых, вероятностные показатели дают возможность контролировать качество изготовляемых и возведенных конструкций и тем самым управлять соответствующими технологическими процессами.




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.012 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав