Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Базис линейного пространства

Читайте также:
  1. Анализ молодежного информационного пространства.
  2. Б) Найти частное решение линейного дифференциального уравнения
  3. Базис и надстройка
  4. БАЗИС И НАДСТРОЙКА
  5. Базис и надстройка
  6. Базис Шаудера
  7. Базисна терапія хворих на МВ
  8. Базисные материалы, требования предъявляемые к ним. Состав свойства и правила применения современных базисных пластмасс
  9. Базисные субъекты в PR-деятельности

Мат.

Определение. Упорядоченная система векторов e 1, e 2, …, e n Î X называется базисом в X, если

  x = ξ1 e 1 + ξ2 e 2 + … + ξ nen. Базисом n-мерного линейного пространства называется упорядоченная совокупность линейно независимых векторов (базисных векторов).

Теорема. Система векторов является базисом линейного пространства тогда и только тогда, когда это максимальная линейно независимая система векторов.

Доказательство.

Пусть — базис . Тогда по определению — линейно независимая система векторов. Любой вектор представим в виде линейной комбинации , т.е. любая большая система векторов линейно зависима, т.е. для векторов

Значит, базис — максимальная линейно независимая система.

Пусть — максимальная линейно независимая система. Второе свойство базиса выполняется. Любая большая система векторов линейно зависима:

т.е. каждый вектор является линейной комбинацией векторов этой системы — выполнено первое свойство.

Теорема. Базис линейного пространства может быть выбран из любой системы образующих.

Доказательство. Пусть . Выберем максимальную линейно независимую систему из векторов . Пусть это векторы .

Тогда система векторов , где , линейно зависима, иначе исходная не была бы максимальной. Тогда

Для любого вектора

Тогда система векторов — система образующих.

Теорема. В каждом базисе линейного пространства содержится одно и то же число векторов.

Доказательство. Пусть — базисы. Если , то поскольку каждый вектор можно представить в виде линейной комбинации векторов , то число линейных комбинаций больше числа комбинируемых векторов. Противоречие. Отсюда .

Определение. Число векторов в базисе линейного пространства называется размерностью линейного пространства.

Обозначение .

Если , то .

Теорема. Если , то любые линейно независимых векторов образуют базис.

Доказательство. Это максимальная линейно независимая система векторов.

Теорема. Разложение каждого вектора по базисным единственно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть вектор раскладывается по базисным векторам двумя способами:

Векторы линейно независимы. Тогда

47. Сумма, разность, произведение и отношение сходящихся последовательностей.

Определение. Последовательность называется сходящейся, если у нее существует конечный предел

· Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю.

· Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.

· Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.

· Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.

· Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.

· Если последовательность сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность , которая является ограниченной.

· Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.

· Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.

· Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.

· Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.

· Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают членов другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.

· Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.

· Любую сходящуюся последовательность можно представить в виде , где — предел последовательности , а — некоторая бесконечно малая последовательность.

· Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной. При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

80. Функции нескольких переменных. Аналоги теорем Коши и Вейерштрасса для них.

 

Функции нескольких переменных Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.

Обычно функция нескольких переменных задается явным аналитическим способом. Например: z=3x+5y2,u=xy+z2 и т.д.

Встречается также и неявное задание таких функций, например: z-2x-sinxy=0.

Упорядоченная пара чисел (x,y) может рассматриваться как точка на плоскости, т.е. Z есть функция точки (x,y).

Чтобы задать функцию z = f (x,y), надо не только указать правило нахождения z по заданным x и y, но и то множество (называемое областью задания функции) пар значений, которые могут принимать аргументы x и y.

Например, функция z= задана только при 1-y >0, т.е. внутри эллипса y2+4x2<1 с полуосями, а =0,5 и в =1 не включая точки, лежащие на эллипсе.

Определение. Если каждой совокупности значений переменных x,y,z…t соответствует определенное значение переменной w, то w называется функцией независимых переменных x,y,z…t и записывается w = f (x,y,z…t).

Для функции трех переменных областью определения является упорядоченная тройка чисел (x,y,z), т.е. некоторая совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и большего числа переменных не допускает простого геометрического истолкования.

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z = f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z = f (x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Например, графиком функции z =4- x 2- y 2 является параболоид.

Функции трех и большего числа переменных не имеют геометрического представления.

БОЛЬЦАНО - ВЕЙЕРШТРАССАТЕОРЕМА

каждая ограниченная числовая последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность. Теоремасправедлива как для действительных, так и для комплексных чисел. Она обобщается на более общиеобъекты, напр.: всякое ограниченное бесконечное множество п- мерного евклидова пространства имеет вэтом пространстве хотя бы одну предельную точку. Аналоги этого утверждения имеются и для еще болееобщих пространств.

Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков (согласно принципу Кантора, она существует и единственна) , Тогда и в силу непрерывности функции

Поскольку

получим, что

 




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 75 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Правила выполнения лабораторной работы| Статья 7. Организация ведения бухгалтерского учета

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав