Читайте также:
|
|
Выше было указано, что сложение матриц накладывает условия на размерности слагаемых. Умножение матрицы на матрицу тоже требует выполнения определенных условий для размерностей сомножителей, а именно: число столбцов первого множителя должно равняться числу строк второго.
Определение. Произведением матрицы А размерности и матрицы В размерности называется матрица С размерности , каждый элемент которой определяется формулой: Таким образом, элемент представляет собой сумму произведений элементов i -й cтроки матрицы А на соответствующие элементы j -го столбца матрицы В.
Для произведения матриц используют обозначение АВ = С.
Свойства произведения матриц:
1. - (ассоциативность)
2. - (дистрибутивность)
Пример. . При этом существует произведение АВ, но не существует произведение ВА. Размерность матрицы С=АВ составляет Найдем элементы матрицы С:
Итак,
Замечание. Операция умножения матриц некоммутативна, т.е. Действительно, если существует произведение АВ, то ВА может вообще не существовать из-за несовпадения размерностей (см. предыдущий пример). Если существуют и АВ, и ВА, то они могут иметь разные размерности (если ).
Для квадратных матриц одного порядка произведения АВ и ВА существуют и имеют одинаковую размерность, но их соответствующие элементы в общем случае не равны.
Однако в некоторых случаях произведения АВ и ВА совпадают.
Определение. Матрицы, для которых выполняется условие АВ = ВА, называются коммутативными.
Рассмотрим произведение квадратной матрицы А на единичную матрицу Е того же порядка:
Тот же результат получим и для произведения ЕА. Итак, для любой квадратной матрицы А: АЕ = ЕА =А.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 13 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |