Читайте также:
|
Определение. Минором элемента определителя называется определитель, полученный из данного путем вычеркивания строки и столбца, в которых стоит выбранный элемент.
Обозначение: 
выбранный элемент определителя, 
его минор.
Пример. Для 
Определение. Алгебраическим дополнением 
элемента определителя называется его минор, если сумма индексов данного элемента i+j есть число четное, или число, противоположное минору, если i+j нечетно, т.е. 
Рассмотрим еще один способ вычисления определителей третьего порядка – так называемое разложение по строке или столбцу. Для этого докажем следующую теорему:
Теорема. Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е.
где i =1,2,3.
Доказательство.
Докажем теорему для первой строки определителя, так как для любой другой строки или столбца можно провести аналогичные рассуждения и получить тот же результат.
Найдем алгебраические дополнения к элементам первой строки:
Тогда 
Пример. Вычислим определитель 
с помощью разложения по первому столбцу. Заметим, что 
при этом искать не требуется, так как 
следовательно, и 
Найдем 
и 
Следовательно, = 
Замечание. На практике определители высоких порядков вычисляют с помощью разложения по строке или столбцу. Это позволяет понизить порядок вычисляемых определителей и, в конечном счете, свести задачу к нахождению определителей 3-го порядка.
Пример. Вычислим определитель 4-го порядка 
с помощью разложения по 2-му столбцу. Для этого найдем 
и 
:
Следовательно,
Замечание. Свойства определителей 3-го порядка справедливы и для определителей n-го порядка.
Особенно удобно пользоваться теоремой разложения, если предварительно преобразовать определитель так, чтобы в какой-то строке или столбце все элементы, кроме одного, равнялись нулю. Такой определитель будет равен ненулевому элементу этих строки или столбца, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Пример. Вычислить определитель 
Решение: прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей – первую, к четвертой — первую, умноженную на (-3). После этого все элементы первого столбца, кроме первого элемента, будут равны нулю. Применяя теорему разложения к этому столбцу, понизим порядок определителя:
рвую
= 
= 
.
Применяя теорему разложения к последней строке полученного определителя третьего порядка, получим:
=-10 
=-10(18-3)=-150
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 30 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |