Читайте также:
|
Глава 7. ЧИСЛА И ИХ ИЗУЧЕНИЕ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
Характеристики понятия числа, лежащие в основе изучения чисел младшими школьниками
7.1.1.Общие суждения о числе и его месте в математическом образовании учащихся и подготовке учителя. Число – основное понятие не только начального курса математики, но и математики в целом. Это самое используемое математическое понятие. Без него не обходится ни один день нашей жизни, ни одно дело, ни одно производство, ни один вид профессиональной деятельности. Число – единственное математическое понятие, для обозначения представителей которого во всех естественных, национальных языках существует особая группа слов – числительные, которые одни лингвисты считают самостоятельной частью речи, другие относят к разным частям речи (двое, трое – к существительным, первый, второй, … - к прилагательным и т.д.).
Понятие числа – одно из древнейших математических понятий. Число – продукт интеллектуальной деятельности людей. Оно является предметом исследований не только математики, но и философии, истории науки. Число – это феномен культуры и его рассмотрение в процессе обучения в этом качестве значительно расширяет образовательные возможности изучения чисел в начальной школе.
Задача учителя начальных классов – обеспечить условия для овладения младшими школьниками понятием числа (натуральные числа и нуль, простейшие дроби) и способами действий с числами на уровне, достаточном для их применения как средства познания, средства кодирования информации, средства решения практических задач повседневной жизни, а также для повышения общей культуры и продолжения математического образования в основной школе. Такое овладение эффективно на основе проникновения в богатые смыслы понятий и способов действий числовой линии начального курса математики.
Согласно требованиям ФГОС НОО, обучение в начальной школе, в том числе обучение математике должно обеспечить становление и развитие самооценки, смыслообразования и самоопределения учащихся. Смысловое поле любого понятия – индивидуально для каждого человека и открыто для новых смыслов и преобразований прежних. Однако, все индивидуальные смысловые поля понятия, обозначенного некоторым общепринятым термином, только тогда будут представлять одно и то же понятие, когда имеют значимое общее ядро. Именно это ядро смыслового поля понятия числа необходимо сформировать у учащихся начальной школы.
В современных учебниках по математике для начальной школы представлены четыре основных подхода к построению теории натурального числа и нуля, известные как теоретико-множественный, основанный на понятии величины или величинный, порядковый, операторный (в основе понятие операции). В математике они представлены в соответствующих теориях: теоретико-множественная, «величинная», аксиоматическая порядковая, построенная на аксиомах Пеано, аксиоматическая «операторная» (Математика. Виленкин Н.Я. и др., М., 1977). Первые три подхода изучаются в вузовском курсе математики при подготовке учителя начальных классов. В начальной школе учащиеся получают также первоначальные сведения о дробях, представление которых строится в основном на понятии величины.(О дробях будем говорить в последней части этой главы.) Соответствующие названным подходам смыслы числа закладываются у обучающихся на начальном этапе формирования понятия числа и оказывают значительное влияние на дальнейшее изучение чисел.
Чтобы подготовиться к реализации числовой линии в начальном обучении математики, целесообразно начать с осознания, обобщения и обогащения собственных представлений о числе, отношениях между числами, операциях с ними через обращение к текстам по математике и рассмотрению смыслов числа, отношений и операций с ними. Приведённые ниже рассуждения и информация помогут в этом.
7.1.2. Теоретико-множественные смыслы числа, отношений между числами и арифметических действий. Теоретико-множественные смыслы натурального числа и нуля заключаются в том, что число выступает знаком количества («штук») объектов любой природы во всех совокупностях с равным количеством элементов (на языке математики – во всех равномощных множествах). В русском языке такое равенство обозначается словами столько же, поровну, одинаковое количество, которые используются тогда, когда удается составить пары «один к одному» так, что предметы обеих групп (элементы обоих множеств) участвуют только в одной паре, и ни один предмет не остается без пары. Так понимаемое равенство количества предметов в группах и привело к изобретению числа в указанном выше смысле. Смоделируем мысленно процесс изобретения.
Представим: чисел еще нет, но мы уже умеем составлением пар «один к одному» (взаимно-однозначного соответствия) устанавливать столько же или не столько же (поровну или не поровну), больше или меньше предметов в одной группе (одном множестве), чем в другой. Это же умеют дети дошкольного возраста.
Возьмем наугад несколько предметов Ϫ Ϫ Ϫ Ϫ. С помощью соответствия «один к одному» отберем мысленно все группы, наборы предметов, у которых столько же предметов: ▓ ▓ ▓ ▓, ▌▌▌▌, …. Обозначим количество предметов в каждом из них некоторым, любым словом и графическим символом. Это может быть любое слово «тям». «бенк», но принято слово «четыре», и любой графический знак, цифра, общепринятым сегодня является цифра 4. Теперь информацию о количестве предметов в каждом наборе (множестве) можно передать словом и знаком. Затем среди не попавших в эти наборы групп предметов возьмем наугад одно из них. И вновь с помощью составления пар отберем те, в которых столько же предметов, обозначим количество предметов в каждом наборе каким-либо словом и знаком. Если продолжать этот процесс бесконечно, то все, какие только можно помыслить, множества окажутся разделенными на бесконечное множество классов, количество элементов в каждом множестве из одного класса будет однозначно обозначаться словом (или словосочетанием) и знаком. Особое место среди так полученных классов займет класс, состоящий из множеств, в каждом из которых в качестве элемента есть только отдельно взятый предмет, а также пустые множества, соответственно числа один и нуль и цифры 1 и 0.
Теоретико-множественный смысл натуральных чисел и нуля можно представить как этот процесс выделения процедурой составления пар «один к одному» групп предметов с одинаковым количеством предметов и обозначением этого количества словом и знаком. Этот процесс в истории развития человечества происходил многие тысячи лет. В некотором приближении процесс становления числовых представлений у детей повторяет этот процесс изобретения чисел человечеством, только общепринятые слова и цифры для обозначения детям подсказывают взрослые.
Теоретико-множественные смыслы отношений между числами (равно, больше, меньше, больше на, меньше на, больше в, меньше в) определяются через возможность или невозможность установления соответствия «один к одному» – взаимно однозначного соответствия. Если такое соответствие для двух групп предметов возможно, то количество предметов в них одинаково и обозначается одним и тем же числом: a = b (рис. 7.1).
Рис. 7.1
Когда соответствие «один к одному» установить невозможно (при любом сопоставлении «один к одному» в одной из групп обнаруживаются «лишние» предметы, которым нет пары в другой группе), то говорят, что в одной группе предметов больше, чем в другой, а в этой другой группе предметов меньше чем в первой. Такие же отношения приписывают и соответствующим числам. Так, если в большей группе (множестве) было a предметов, а в меньшей b (рис. 7.2), то и число a считают большим числа b (a > b), а число b меньшим числа a (b < a). При этом a больше b и b меньше a на число «лишних» предметов большей группы или «недостающих» предметов меньшей группы.
Рис. 7.2
Выделение «лишних» и «недостающих» предметов позволяет выразить отношения неравенства «больше (меньше) на …» между группами предметов через отношение равенства «столько же», а между числами – через числовые равенства. Например, « в первой группе предметов на 2 меньше, чем во второй» означает, что «во второй группе предметов столько же, сколько в первой да еще 2» (рис.7.3, б), а «в первой группе предметов столько же, сколько во второй без двух (рис.7.3, в)».
Рис.7.3
Утверждения «7 больше на 2 чем 5» означает также, что «7 это 5 да еще 2», «7 без 2-х это 5», «если из семи вычесть пять, то получится два» и т.п. Эти утверждения могут быть записаны верными равенствами: 7 = 5 + 2, 5 + 2 = 7, 7 – 2 = 5, 5 = 7 – 2, 7 – 5 = 2 и 2 = 7 – 5.
Умение прочитывать результат сравнения количества предметов в двух группах, в том числе количества предметов группы и ее части – основа перехода учащихся от отношений между группами предметов к отношениям между числами, к выражению отношений с помощью арифметических действий.
Выше рисунке 7.3. в показано сравнение группы предметов со своей частью – множества со своим собственным подмножеством. Все элементы подмножества являются элементами множества и потому могут быть пары, где и первый и второй элементы одинаковы. С точки зрения теории множеств – это такие же пары, как и другие. Но для сознания старшего дошкольника и учащегося начальных классов составление таких пар – недоступный уровень абстракции. Поэтому сравнение группы предметов и ее части проводится не на основе сопоставления один к одному, а на основе визуального интуитивно понимаемого отношения целого и части.
Смысл отношения целого и части отражен в основном лексическом значении слов целое, часть целого, которым дети овладевают в процессе развития речи. Это значение включает и свойства отношений целого и частей для конечных множеств и для конкретных величин: целое больше любой своей части, целое может быть составлено из своих непересекающихся частей, целое больше одной своей части величину другой части (если состоит из двух частей).
Дети усваивают лексику отношений целого и части, сами отношения и их свойства на материальном, предметно-действенном уровне в дошкольном возрасте. Эти отношения и их свойства служат предметной основой соответствующих способов сравнения предметов, групп предметов, действий с предметами, а через них - обоснованием свойств отношений между числами, свойств арифметических действий, способов решения уравнений.
Важным отношением между группами предметов является отношение кратности: больше (меньше) в … раз. Эти же отношения переносятся и на соответствующие числа (рис. 7.4).
Рис.7.4
Обратите внимание на то, что среди сравниваемых групп предметов, также как и в предыдущем случае, есть как группы, не имеющие общих элементов (рис. 7.4 а, в), так и группы, одна из которых является частью другой (рис. 7.4 б, г). И при изучении чисел необходимо в качестве источника и модели отношений между числами рассматривать отношения между двумя группами предметов без общих элементов и отношения между целой группой предметов и ее частью.
Отношения больше (меньше) в … раз между числами также как и отношения «больше (меньше) на …» могут быть выражены арифметическими действиями. «12 в 4 раза больше 3» и «3 в 4 раза меньше 12» и записаны равенствами 12: 3 = 4 и 4 = 12: 3; 12: 4 = 3 и 3 = 12: 4; 3 ∙ 4 = 4 ∙ 3 = 12 и 12 = 3 ∙ 4.
Свободное владение умением переходить от предметных действий к словесному обозначению отношений между числами, а затем к их обозначению на языке арифметических действий – планируемый результат обучения математике. Этот результат можно считать достигнутым, если учащиеся правильно обозначают утверждения вида а) «9 больше 6 на 3» и «6 меньше числа 9 на 3»; б) «14 больше в 2 раза числа 7» («14 больше 7 в 2 раза»), «7 в 2 раза меньше 14» любым из представленных выше равенств и могут каждое из равенств прочитать как соответствующие отношения между числами.
7.1.3. Смыслы числа, основанные на понятии величины («величинные» смыслы числа. Число в этой теории понимается как обозначение информации о количестве соответствующего свойства в объекте в кратном сравнении с объектом-меркой. В математической литературе этот смысл чаще всего представляют на примере длины отрезка. Однако в обучении младших школьников более эффективно представление величинных смыслов числа с помощью разных величин, используемых в повседневной жизни и изучаемых в школе.
Процесс кратного сравнения по некоторой величине с объектом-меркой (процесс измерения) – это процесс «укладывания» предметов-мерок (или событий-мерок при измерении времени) в предмете или явлении, величина которого (длина, площадь, масса, время и т. п.) измеряется, и обозначение количества «штук» этих предметов-мерок («событий-мерок»), полностью «уложившихся» в измеряемом предмете (явлении, событии). В результате «укладывания» мерок конкретный объект, характеризующийся непрерывной величиной, преобразуется в дискретное множество предметов-мерок, для которых способ обозначения их количества (количества «штук») такой же, как и в случае с любым другим множеством. Если при «укладывании» мерок обнаружилось, что в части оставшейся после укладывания нескольких мерок целая мерка не укладывается, то укладывают несколько равных между собой (по измеряемой величине) частей мерки, а результат измерения этой части обозначают парой натуральных чисел – дробью.
Есть и особенности смыслов числа, основанных на понятии величины. Каждому множеству ставится в соответствие единственное число, обозначающее количество элементов в нем, а каждому числу соответствует бесконечное множество равномощных множеств. А любому предмету (или идеальному объекту, каким является, например, геометрическая фигура), обладающему той или иной величиной, может соответствовать любое натуральное, а также дробное, иррациональное число, так как числовое значение величины конкретного предмета зависит от единицы измерения, которой может быть величина любого объекта, обладающего заданной величиной.
На рис. 7.5, а числовое значение длин каждого отрезка равна 5. Но длины только первых двух отрезков равны, а длины следующих двух отрезков измерены в других, в разных единицах и их длины не равны ни друг другу, ни длинам первых двух отрезков. Такая же ситуация с площадью фигур на рис. 7.5,б.
Рис. 7.5.
«Величинный» смысл отношений больше – меньше, равно, больше на – меньше на, больше в … раз – меньше в … раз. Величинный смысл названных отношений между натуральными числами, между дробями задается через процедуру непосредственного сравнения предметов по любой из непрерывных величин. Чтобы сравнить два числа a и b на основе понятия величины, нужно, чтобы сравниваемые числа были получены в результате измерения у двух объектов А и В одной и той же величины (длины, площади, объема и т. д.) в одних и тех же единицах. Число a будем считать равным (больше, меньше, больше на с, меньше на с, больше в n раз, меньшим в n раз), чем число b, если при непосредственном сравнении объектов А и В по той же величине, которую представляют числа а и b, объект А равен (больше, меньше, больше на с, меньше на с, больше в n раз, меньшим в n раз) объекту В по величине, значения которой в одних и тех же единицах представлены числами а, b и с.
Пусть, например, нужно установить, какое из чисел обозначенных «сказочными цифрами»[1] γ или δ больше, если известно, что γ обозначает длину отрезка а, а δ – длину отрезка b в единицах е (рис. 7.6). Заметим, что числа γ и δ могут быть как целыми, так и дробными. По рисунку видно, что отрезок а длиннее отрезка b на длину отрезка с. Следовательно число γ больше числа δ на Ʊ.
Рис. 7.6
В приведенном примере отрезки а, b и с связаны зависимостью а = b + с, где + означает сложение отрезков, составление из двух отрезков одного. Значения длин (число вместе с наименованием единицы длины) и числовые значения длин связаны аналогичной зависимостью: γ е = δ е + Ʊ е, и γ = δ +Ʊ. Так,если длина отрезков а = 8 см, b = 5 см, то 8 см = 5 см + 3 см и 8 = 5 + 3, отрезок а длиннее отрезка b на 3 см, а число 8 больше числа 5 на 3, число 5 меньше числа 8 на 3, 3 меньше чем 8 на 5, 8 больше чем 3 на 5.
Дети задолго до школы научаются на практическом предметном уровне устанавливать «на сколько» одни предметы длиннее, толще, выше, шире и т. п. других, располагая сравниваемые предметы соответствующим образом и показывая выступающую часть большего предмета. Поэтому и учитель должен знать «предметные» способы установления этих отношений, чтобы понимать, как в школьном обучении перевести их на язык чисел, язык действий с числами.
Отношения больше (меньше) в … раз между числами также могут быть заданы с помощью величин.
Так, если в один стакан мы положим 2 чайные ложки сахара, а в другой 3 раза по 2 чайных ложки – 6 чайных ложек сахара, то принято говорить, что сахара во втором стакане в 3 раза больше, чем в первом, а число 6 в 3 раза больше чем число 2. На примере массы то же отношение больше (меньше) в 3 раза может быть показано с помощью чашечных весов, находящихся в равновесии, например, когда на одной чашке весов некоторый предмет или вещество, а на другой три гири по 2 единицы массы. Аналогично отношения «кратного сравнения» – больше, меньше в … раз могут быть показаны на других величинах.
Отметим, что словосочетания больше в … раз(а), меньше в … раз(а) довольно часто используются в обыденной речи. Поэтому даже дошкольники могут на интуитивном уровне представлять предметный смысл рассматриваемых отношений в простейших случаях. Результатом обучения в начальной школе должно быть такое понимание этих отношений, при котором словесно заданное отношение между числами обучающийся может показать на примере длины, площади, объема, массы и т. п. конкретных материальных объектов или их графических моделей, и наоборот, конкретную ситуацию, аналогичную представленным выше, может обозначить соответствующими отношениями между числами, в том числе с помощью арифметических действий.
7.1.4. Порядковые смыслы натурального числа и нуля, отношений между числами. Порядковые смыслы натурального числа и нуля в математике представляет аксиоматическая порядковая теория, автором наиболее удачной версии которой признан итальянский математик Д. Пеано (Giuseppe Peano; 1858 – 1932). Первое прилагательное в названии теории говорит о способе построения теории – аксиоматическом, второе о том, что теория строится на постулировании порядковых свойств множества натуральных и целых неотрицательных чисел. Неопределяемое отношение в этой теории - отношение непосредственно следовать за (следовать за), а неопределяемое понятие - натуральное число, содержание которых задают аксиомы. (Подробнее: Стойлова Л. П. Математика. 2012).
Порядковые свойства чисел – очень важные свойства, обеспечивающие возможность отказа от необходимости обращаться каждый раз к предметным смыслам чисел для установления отношений между ними или для выполнения операций с ними. Эти же свойства лежат в основе построения систем счисления, запоминания названий чисел. Постулирование порядковых свойств придало теории натурального, теории целого неотрицательного числа логическую стройность, строгость доказательств её утверждений.
В практическом плане порядковые свойства чисел проявляются в их применении для упорядочивания информации о самых разных объектах. Напомним: в русском языке и в других языках используются как специально предназначенные для этой цели порядковые числительные, так и количественные числительные. Роль чисел как средства упорядочивания информации не менее важна, чем их роль как средства обозначения количественных отношений. В современном постиндустриальном, информационном периоде развития общества эта роль всё более и более возрастает. Кроме того, порядковые смыслы целого неотрицательного числа, понятие натурального ряда чисел привели к открытию большого количества числовых рядов, обладающих красивыми, удивительными свойствами. Распознавание закономерностей, построение числовых рядов с наперед заданными свойствами – эффективное средство развития логического мышления. Соответствующие задания есть во всех действующих в настоящее время учебниках математики.
С числом как элементом некоторого упорядоченного множества дети знакомятся тогда, когда взрослые учат их произносить слова «один», «два», «три», «четыре» и т.д., следя за тем, чтобы назывались они в нужном порядке. Порядковый смысл натурального числа заложен и в каждой детской считалке, смысл которой заключается в только в том, что в ней задается с помощью рифмы и юмористического, абсурдного или фантастического содержания легко запоминающаяся благодаря этому последовательность слов. В детских играх считалка выполняет роль средства упорядочивания и определения последнего в установленной последовательности.
Каждое число в порядковом смысле характеризуется не само по себе, а через соседство с другими числами: за каким числом следует и какому числу предшествует. Эта характеристика сродни заложенной в поговорке «Скажи мне, кто твой друг, и я скажу, кто ты». Так, число 6 – это число, которое непосредственно следует за числом 5 и предшествует числу 7, число 7, в свою очередь, следует за 6 и предшествует числу 8, и т. д.
Порядковые смыслы числа, отраженные в рассматриваемой теории, позволили определить понятие натурального ряда чисел – упорядоченного бесконечного множества натуральных чисел, начинающегося с единицы, и числового луча, начальной точкой которого является нуль. Отношения неравенства, арифметические действия могут быть определены через положение чисел в натуральном ряду, что позволяет устанавливать отношения и находить результаты действий, не прибегая к действиям с предметами.
Натуральный ряд как числовая последовательность устроен таким образом, что любое следующее число больше предыдущего. Это дает основание определять, какое число больше, какое меньше только по тому, какое число раньше встречается в натуральном ряду. Знания последовательности названий, а затем и обозначений цифрами первых десяти натуральных чисел (от 1 до 10) оказывается достаточным для того, чтобы сравнивать любые два натуральных числа только по их названию или цифровому обозначению по известным правилам.
Порядковые смыслы отношений «больше», «меньше» между целыми неотрицательными числами в порядковой теории задаются определениями этих отношений через действие сложения (a > b, b < a ↔ Ǝc, c > 0, a = b + c). Такое определение может быть сформулировано в любой другой теории числа после определения действия сложения, специфика порядкового смысла здесь не отражена. Собственно порядковые смыслы отношений между числами в начальном обучении математике вначале выводятся из теоретико-множественного или (и) величинного смыслов числа и проецируются на натуральный ряд. После чего осваиваются как свойства натурального ряда чисел:
• непосредственно следующее число больше предыдущего на единицу и, если натуральное число на единицу больше другого, то оно следует за другим в натуральном ряду; • число, предшествующее данному, меньше его на единицу, и, если натуральное число на единицу меньше другого, то оно предшествует другому; • сумма любого числа и единицы равна следующему за ним числу; • разность любого числа и единицы равна предшествующему ему числу; • из двух натуральных чисел то больше, которое стоит в натуральном ряду дальше от начала (правее); • число меньше другого на столько, сколько «шагов» нужно пройти по натуральному ряду от этого числа к другому, большему, в порядке возрастания (вправо) и больше другого на столько, сколько «шагов» нужно пройти от него к другому, меньшему, в порядке убывания (влево).
Учащиеся легко устанавливают эти свойства индуктивно (методом неполной индукции), опираясь на знание последовательности чисел в натуральном ряду и освоенные умения сравнивать целые неотрицательные числа, выполнять сложение и вычитание на основе теоретико-множественных и величинных смыслов. Указанные свойства позволяют учащимся конструировать способы сравнения, сложения и вычитания чисел с помощью числового ряда и числовой прямой, владение которыми входит в планируемые результаты изучения чисел.
Существуют и другие подходы к построению теории натурального числа и к представлению смыслов натурального числа. Один из таких подходов заключается в том, что число характеризуется через то, что можно с ним делать. Например, множество целых неотрицательных чисел задается как некоторое множество, на котором аксиоматически задается одна или две операции со свойствами, которые также постулируются. Затем через определения вводятся другие арифметические действия, формулируются и доказываются на основе аксиом и предыдущих доказательных утверждений свойства этих операций[2].
Перенося аксиоматическую теорию на учебную ситуацию в некотором приближении получаем: «придуманы» некие объекты - числа (целые неотрицательные), имена которых «ноль», «один», «два», … «десять», «одиннадцать», «двенадцать», … «сто», …, а обозначения на письме 0, 1, 2, … 10, 11, 12, …, 100 …. Придуманы также «игры» с ними: «меньше – больше», «сложение», «вычитание», «умножение», «деление». Каждая «игра» имеет свои правила. «Игра» «меньше - больше»: число стоящее в ряду правее больше числа, стоящего левее, число следующее больше предыдущего на единицу и равно сумме предыдущего и единицы. «Игры «сложение»: 0 = 0 + 0, 1 = 0 + 1 = 1 + 0, … а = 0 + а = а + 0и а = 0 + а = а + 0, где а – любое из чисел; a + 1 = a ′ (следующее за а число), а + b = b + a, (a + b) + c = a + (b + c), …, 2 = 1 + 1, а 1 + 1 = 2, … 10 = 0 + 10 и 0 + 10 = 10 + 0 = 10; 10 = 1 + 9 = 9 + 1, … Аналогичны правила игры «Умножение»: 0 = 0 ∙ 1 = 1 ∙ 0 и 0 ∙ 1 = 1 ∙ 0 = 0 или a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0, a ∙ 1 = 1 ∙ a = a и т.д.
«Игра» заключается в том, чтобы следуя правилам игры по именам или записи двух чисел указать, например, что чего больше, или найти третье число, или для числа найти пары чисел, которые могут представлять его через сумму, разность, произведение, частное. Именно этой схожестью свойств и способов действий с числами с играми по правилам может быть объяснен тот факт, что почти все дошкольники и первоклассники любят заниматься математикой.
Числа по-разному характеризуются через другие числа. Самое «небогатое» число в представлении через действия с другими числами – число 0. 0 – результат вычитания из любого числа самого себя: 0 = 1 – 1 = 2 – 2 = 45 607 – 45 607 и т.д. Но это число самое необычное. В действиях нуль ведет себя своеобразно. В сложении и в вычитании нуля из любого числа он незаметен, нейтрален: прибавили или не прибавили к некоторому числу 0, вычли или не вычли – получаем то же исходное число, как будто ничего и не делали. Нейтральность теряется, когда вычитают из нуля: 0 – 5 ≠ 5. В умножении и в делении нуля он агрессивен: превращает в себя, «поглощает» партнера по действию. В математике его так и называют поглощающий в умножении и поглощающий слева в делении. А вот делить на него нельзя! Необычно число 1. В сложении и вычитании оно участвует в представлении соседей. В умножении и делении может быть представлено действиями с самим собой: 1 = 1 ∙ 1, 1 = 1: 1. При представлении других чисел через умножение и деление на себя ведет себя скромно, нейтрально: 5 = 5 ∙ 1 = 1 ∙ 5; 5 = 5: 1. Нейтральности нет, когда 1 делят: 1: 5 ≠ 5.
Большое значение в математике имеет представление чисел через его делители. По делителям все числа делят на группы: четные (есть делитель 2) и нечетные (нет делителя 2); простые (делителей 2 – само число и 1), составные (делителей больше двух), число 1 (один делитель 1), число 0 (не имеет ни одного делителя). Каждое натуральное число имеет строго определенное число всех делителей и строго определенное число простых делителей. По наличию или отсутствию общих делителей можно образовывать самые разные группы, также как и по связанному с делителями представлению чисел через произведение. Эта сторона чисел настолько интересна, что включение ее в процесс формирования понятия числа создает огромные возможности для учения с увлечением. Скучная работа по запоминанию таблиц сложения/вычитания, умножения/деления может превратиться в увлекательное, почти детективное расследование «связей» каждого числа действиями, особенностей цифровой «одежды». Например, все результаты умножения с числом 5 имеют в своем цифровом десятичном облачении последнюю цифру 5 или 0. Цифровой «плащ» каждого результата умножения на 9 состоит из двух цифр, обозначающих: первая цифра – число на 1 меньше числа, на которое умножается 9, а вторая – дополнет первую до девяти, т.е. сумма соответствующих однозначных чисел всегда равна 9: 2 ∙ 9 = 18, 1+ 8 = 9; 3 ∙ 9 = 27, 7 ∙ 9 = 63, 6 + 3 = 9.
В большой математике, в науке числовыми загадками, описанием свойств чисел, числовых рядов занимались и занимаются великие математики. Но многие закономерности и удивительные характеристики чисел таковы, что их могут открыть или высказать предположение, гипотезу даже учащиеся начальной школы.
Представление натурального числа в виде суммы в методической литературе носит название состава числа и является важной частью содержания курса математики в начальной школе. Умение заменять число суммой или разностью, произведением и частным других чисел является базовым для тождественных преобразований выражений (числовых и буквенных) в основной школе, а замена числа произведением необходима при изучении делимости чисел, при освоении сокращения дробей, выполнении действий с дробями.
Рассмотренные выше характеристики числа отражены в основных математических теориях. Однако, число, сохраняя основное количественное (теоретико-множественное или величинное), порядковое значения, несет информацию о многих других сторонах человеческого бытия, так или иначе обусловленных количественными и порядковыми отношениями. Числительные – важная часть современных национальных языков. Во всех национальных культурах существует множество традиций, мифов, суеверий, пословиц, поговорок, связанных с числом. Это позволяет говорить об этнокультурных смыслах числа. Исследователи отмечают, что «учет этнокультурных смыслов числа, использование сведений о них в учебно-воспитательном процессе способствуют созданию особого эмоционального восприятия числа детьми, обеспечивают неформальное, личностное отношение к изучаемому, оказывают воспитывающее воздействие, развивают интерес к познанию, к национальным культурам, языку. Обогащение понятия числа этнокультурными смыслами разных народов, проживающих в России, будет помогать сохранению национальных особенностей каждого народа, укрепляя в то же время их общность»[3].
Так, например, в христианской культуре особое значение придается числам 3. 7: «бог троицу любит», «святая троица», семь дней сотворения мира. В русских народных сказках число три очень частотно: загадывают три желания, путник выбирает из трех дорог, в семье три сына, «три девицы под окном» и т.д. В русском фольклоре много пословиц и поговорок, включающих в себя числа 1, 3, 7: «Один в поле не воин», «Одно нынче лучше двух завтра», «Одной рукой жни, а другой сей», «Одного храбреца и тысяча трусов не заменит», «Один с сошкой – семеро с ложкой», «В трех соснах заблудился», «Семь бед - один ответ», «Семь раз отмерь - один отрежь», «Для друга и семь верст не околица», «Семеро одного не ждут» и др. В названной выше статье приводятся тувинские национальные традиции, мифы, жанры фольклора, связанные с числами. Например, автор описывает жанр национального фольклора – триада. « Три белых» символизирует жизнь человека: молодой – белые зубы, постарел – белые волосы, умер – белые кости. Три красных: рубин в кольце у хана (богатство и власть), красный горизонт у холодного неба, красные щеки у счастливой женщины. Использование сказочных сюжетов, народной мудрости, выраженной в загадках, пословицах и поговорках является одним из путей создания положительной эмоциональной окраски освоения математики самыми маленькими школьниками, обогащает понятие числа гуманитарными смыслами, способствует достижению в процессе изучения чисел не только предметных и метапредметных результатов, но и личностных, как требует ФГОС НОО.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 165 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |