Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Комплексные числа.

Читайте также:
  1. Дайте рекурсивное определение функции на примере вычисления факториала целого числа.
  2. Даны два числа. Выбрать большее их них.
  3. Здесь m – знаковый разряд числа; e – экспоненциальная часть (содержит двоичный порядок); m – мантисса числа.
  4. Квантовые числа.
  5. Квантовые числа.
  6. Комплексные учебно-тренировочные занятия направлены на повышение общей и специальной физической подготовленности военнослужащих.
  7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
  8. Медь и ее свойства. Важнейшие сплавы и комплексные соединения. Оксиды, гидроксиды и соли меди(I,II), их свойства и применения.
  9. Правило перевода дробной части числа.

Определение 1: Системой комплексных чисел называется множество с операциями сложение и умножение:

1. ;

2. .

Теорема 1: Система комплексных чисел является полем.

Док-во:

1 «+»: коммутативно

ассоциативно, .

2 «*»:коммутативно

ассоциативно, .

3 дистрибутивность □

– называется комплексной единицей.

.

.

.

Определение: Комплексное число записанное в виде называется алгебраической формой комплексного числа.

Утверждение 1: Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме:

;

;

Док-во:

.

Аналогично для умножения.□

Замечание: Пусть . Поставим в соответствие числа на декартовой плоскости с координатами . Числу x можно поставить в соответствие вектор с началом в (0,0) и концом в . Длина этого вектора .

, .

- эта форма записи комплексного числа называется тригонометрической.

Утверждение 2: Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:

если ;

, то .

Утверждение 3: Если , , то .

Определение: Корнем n-ой степени из комплексного числа z называется такое число u, что .

Обозначение: .

Теорема: Пусть - комплексное число, тогда ровно n значений корня n-ой степени из z и они находятся по формуле:

.

- арифметическое значение корня.

Следствие: Корни степени n из z находятся в вершинах правильного n-ка.

Следствие 2: Множество всех корней степени n из 1 является мультипликативной группой.

Док-во:

·

·

·


 

§2 Кватернионы.

Определение:

Алгеброй называется N-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, если в нем однозначно определена и всегда выполняется операция умножения, ассоциативные, дистрибутивные относительно сложения и связанные с умножением элементов на действительные числа следующее равенств:

(kα)β=(αk)β=k(αβ), k ϵ R α, β ϵ A (A – алгебра)

Такая алгебра называется алгеброй ранга n.

Замечание:

Алгебра является кольцом. Это кольцо не всегда коммутативно.

Определение:

Если в алгебре ранга n выполнимо деление, то она называется телом (или алгеброй с делением ранга n).

Замечание:

Тело может быть не коммутативным.

Алгебра ранга n имеет некоторый базис , , …, . Элемент алгебры можно представить виде α = (a1, a2, …,an).

α = a1 +a2 +…+an

β = b1 +b2 +…+bn

Умножение α∙β будет иметь вид выражено через всевозможные комбинации произведений базисных векторов.

Пример алгебры:

1. Поле действительных чисел R можно рассматривать как одномерное векторное пространство с одним базисным вектором:

n=1 =1

Любой элемент из R можно рассматривать как вектор α=α∙1. В этой алгебре выполнимо деление, поэтому R алгебра с делением ранга 1, причем коммутативная.

2. Поле комплексных чисел C:

n=2 =1, =i

Коммутативная алгебра с делением ранга.

3. Тело кватернионов H:

n=4 =1, =i, =j, =k

    i j k
    i j k
i i -1 k -j
j j -k -1 i
k k j -i -1

Пользуясь таблицей умножения можно найти произведение 2-х любых кватернионов.

 

q1∙q2=(a1+b1i+c1j+d1k)(a2+b2i+c2j+d2k)=

=a1a2+a1b2i+a1c2j+a1d2k+

+b1ia2+b1ib2i+b1ic2j+b2id2k+

+c1ja2+c1jb2i+c1jc3j+c1jd2k+

+d1ka2+d1kb2i+d1kc3j+d1kd2k=

=(a1a2-b1b2-c1c2-d1d2)+(a1b2+b1a2-d1c2+c1d2)i+(a1c2-b1d2+c1a2+d1b2)j+(a1d2+b1c2-c1b2+d1a2)k

Замечание:

Умножение коммутативно и это легко проверить: (q1q2)q3=q1(q2q3)

Алгебра H – есть алгебра с делением, т.е. тело (не коммутативное поле). Для этого достаточно убедиться, что в H содержится единица и любой другой кватернион не равный 0имеет обратный:

q≠0 q-1: qq-1=q-1q=1

Определение:

Если q=a+bi+cj+dk, то число = a-bi-cj-dk называется сопряженным к числу q.

Найдем чему равно произведение q∙ = ∙q=a2+b2+c2+d2=N(q). N(q) называется нормой q. q≠0

Замечание:

Нахождение частного от деления кватерниона q1 на q≠0 сводится к решению двух (умножение не коммутативно) уравнений:

1.) x∙q=q1 – решается умножением обеих частей справа на q-1

2.) q∙y=q1 – решается умножением обеих частей слева на q-1

Пример:

Найти x из уравнения x∙q=q1, если q=2+3i+j-5k, q1=4+i-2j+3k

=2-3i-j+5k

N(q)=22+32+12+(-5)2=39

x=q1∙q-1=(4+i-2j+3k)∙ (2-3i-j+5k)=

Вывод:

Алгебра кватернионов H есть алгебра с делением ранга 4 над полем действительных чисел (или тело).

Утверждение:

Тело кватернионов H содержит поле комплексных чисел C

►q=a+bi+cj+dk →z=a+bi

Это соответствие взаимно-однозначно (биекция) и оно сохраняет операции сложения и умножения:

q1=a1+b1i+0j+0k

q+q1=(a+a1)+(b+b1)i+(c+0)j+(d+0)k

z+z1= (a+a1)+(b+b1)i

qq1=(aa1-bb1)+(ab1+a1b)i+0j+0k что соответствует

zz1=(aa1-bb1)+(ab1+a1b)i

Таким образом, множество кватернионов вида q1=a1+b1i+0j+0k изоморфно полю комплексных чисел, отсюда следует что тело кватернионов есть одно из расширений поля комплексных чисел. ◄

Теорема Фробениуса:

Алгебра с делением над полем действительных чисел является или полем действительных чисел или полем комплексных чисел или телом кватернионов.

Замечание:

Теорема устанавливает предел расширения числовых полей, а именно последним числовым полем, включающим все предшествующие числовые поля и кольца. Порядки их расширения являются телом кватернионов (не коммутативным).

Если же не требуется что бы числовая система была алгеброй с делением, то возможно построение сколько угодно гиперкомплексных систем или алгебр любого ранга, причем не только над R, но и над другими полями.

Например:

Над полем C можно построить алгебру B–кватернионов, так же как алгебру А кватернионов. Строится над полем R и имеет вид A+Bi+Cj+Dk. A, B,C, D ϵ С и 1, i, j, k – элементы базиса с той же таблицы умножения как в алгебре кватернионов, но алгебра B-кватернионов не обладает делением.

 




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 34 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.014 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав