Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Квадратный корень из комплексного числа

Читайте также:
  1. Алгоритм Петерсона синхронизации двух процессов. Алгоритм булочной (Bakery algorithm) для синхронизации произвольного числа процессов.
  2. В чому суть комплексного підходу до вирішення завдань і проблем в галузі охорони праці на підприємстві?
  3. В)снижение числа нейтрофилов и развитие агранулоцитоза
  4. Вопрос № 28. Составные элементы методики комплексного экономического анализа.
  5. Вопрос №33. Особенности предоставления земельных участков для жилищного строительства и для комплексного освоения в целях жилищного строительства
  6. Выбор местоположения и числа трансформаторных подстанций
  7. Выбор политики комплексного оперативного управления текущими активами и пассивами.
  8. Выбор числа и мощности цеховых трансформаторов
  9. Выбор числа измерений
  10. Выполнение арифметических операций над числами в ЭВМ

Опубликовано: 12 апреля 2009.

Рубрика: Поле комплексных чисел..

п.6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа. Формула квадратных корней из комплексного числа.

В дальнейшем нам понадобится одна числовая функция:

обозначим .

Эту функцию называют знаком числа х и читается она так: "сигнум икс".

Теорема. Пусть . Тогда

(7) , где квадратныекорни в скобках являются арифметическими квадратными корнями из положительных чисел.

Доказательство. Как мы уже выяснили существует ровно дваквадратных корня из комплексного числа, причем они являются противоположными числами. Пусть , где . Тогда или . Возведем в квадрат левую часть этого равенства и воспользуемся условиями равенства двух комплексных чисел. Получаем:

(8) .

Возведем в квадрат каждое уравнение этой системы: . Прибавим второе уравнение к первому:

.

Здесь – обычный арифметический квадратный корень из положительного действительного числа. Далее, если полученная системаимеет решение, то по обратной теореме Виета и являются корнями квадратного уравнения . Находим дискриминант . Отсюда . Оба корня квадратного уравнения оказываются положительными, т.к., очевидно, . При выборе корней учитываем равенства (8), а именно . Отсюда следует, что и

. Осталось правильно выбрать знаки перед знаками радикалов. Из равенств (8) следует, что . Положим , тогда , откуда и следует доказываемая формула. Теорема доказана.

Пример. Вычислить .

Решение. Используем только что доказанную формулу корней. Здесь . Подставляем в формулу и получаем:

.

Ответ: .

Замечание. Можно не запоминать формулу (7) ввиду ее громоздкости, а при решении использовать алгоритм доказательства теоремы. Решим таком образом предыдущий пример.

Пусть . Тогда . Это возможно лишь тогда равны вещественные и мнимые части обоих комплексных чисел: . Возводим оба уравнения системы в квадрат: . Прибавляем второе уравнение к первому: . Применяем обратную теорему Виета:

. Решаем квадратное уравнение: . Так как , то . Принимаем . Так как , то . Получили один из двух корней: . Второй корень противоположен первому.

Ответ: .

Конечно, этот способ, в отличие от первого, занимает у нас некоторое время, но зато алгоритмы запоминаются лучше, нежели формулы.

Нам будет интересен частный случай формулы (7), когда мнимая частьчисла z равна нулю.

Следствие. Пусть – произвольное действительное число. Тогда имеет место следующая формула:

(9) .

Доказательство очевидно, достаточно подставить в формулу (7) и вспомнить, что арифметический квадратный корень из квадрата действительного числа равен его модулю: .

Теперь, если , то формула (9) дает оба корня из положительного действительного числа а: .

Не будем забывать, что квадратный корень в левой части формулы (9) обозначает все множество корней из комплексного числа , а квадратные корни в правой части формулы (9) обозначают арифметические квадратные корни из неотрицательных действительных чисел. Обозначение одно и то же, с помощью знака радикала, а смыслразличный.

Пусть теперь . Тогда и формула (9) дает равенство: . Здесь – арифметический квадратный корень из положительного числа .

Случай очевиден: .

Интерес представляет случай корня квадратного из отрицательного числа. Сформулируем этот случай отдельно в виде следствия.

Следствие. Пусть и . Тогда оба квадратных корня из числа z могут быть найдены по формуле:

(10) .

Примеры: , , .

Замечание. Обратите внимание на последнее равенство:

.

Это верное равенство, т.е. по определению есть множество всехкорней из числа –1, в то время как равенство неверное, с этой точки зрения! Именно поэтому нельзя переносить свойства корней из действительных чисел на корни из комплексных чисел, как показывает следующий простой пример.

Пример. Найдите ошибку в следующих преобразованиях:

.

С другой стороны, легко доказать следующую теорему.

Теорема. (О вынесении действительного множителя из под знака корня.) Пусть , n – произвольное натуральное число. Тогда

(11) ,

где есть обычный арифметический корень из положительного числа.

Доказательство. Равенство (11) здесь нужно понимать как равенстводвух множеств: – множество всех корней n-йстепени из комплексного числа , – множество всех корней n-й степени из комплексного числа z,

.

Отсюда вытекает и способ доказательства. Мы докажем, что оба множества состоят из одних и тех же элементов.

Пусть . Тогда . Отсюда следует, что . Обратно, Пусть . Тогда . Следовательно, , ч.т.д. Теорема доказана.

Замечание. Предыдущее следствие можно вывести и из только что доказанной теоремы.

Следствие. Пусть и Тогда .

Доказательство. Рассматриваем отрицательное число а как комплексное число . Тогда доказываемоеравенство сразу же следует из только что доказанной теоремы: .

Пример. Вычислить .

Решение. Применим только что доказанную теорему: .

Ответ: .

 




Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 25 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав




lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.011 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав