Читайте также:
|
Дана неоднородная система линейных алгебраических уравнений:
Доказать, что это система совместна и найти ее общее решение.
Решение:
1. Легко показать, что rang Ᾱ = rang A
2. Рассмотрим соответствующую однородную систему уравнений, эта система из примера №1. Её ФСР и общее решение найдены. Выделим в матрицу Ᾱ базисный минор, стоящий на пересечении первых двух строк со вторым и третьим столбцами. Тогда последовательность уравнений системы есть следствие двух первых уравнений системы, а неизвестные 
можно считать «свободными», поэтому исходная система эквивалентна системе:
Решив её, находим единственное решение: 
Найдено частное решение данной неоднородной системы.
.
Общее решение исходной неоднородной системы получим с помощью формулы (2).
= 
или
Это решение можно было бы получить методом исключения неизвестных. ФСР определяется неоднозначно, но число элементов в ФСР всегда равно 
.
Метод Жордана – Гаусса.
Пусть дана система, состоящая из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
(1)
С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду:
(2)
Матрица (2) является расширенной матрицей системы:
(3)
которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе.
Если хотя бы одно из чисел 
отлично от 0, то система (3), а следовательно и исходная система (1) несовместна.
Если же 
, то система (3) и (1) совместна. И из (3) базисные неизвестные 
выражаются через свободные неизвестные.
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |