Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Площадь параллелограмма, натянутого на два вектора в плоскости. Определитель второго порядка.

Площадь параллелограмма находят через понятие векторного произведения

Определители второго порядка Пусть заданы числа , , , (действительные или комплексные). Они определяют число , которое называется определителем или детерминантом второго порядка и записывается следующим образом:

Свойства определителя. Величина определителя:

а) не меняется, если у него заменить строки соответствующими столбцами:

б) меняет знак, если у него переменить местами строки (столбцы)

в) умножается на число (действительное или комплексное), если элементы какого-либо его столбца или строки умножить на , например:

т. е. общий множитель, присутствующий в строке или столбце, можно выносить за знак определителя;

г) равна нулю, если элементы какого-либо его столбца или строки равны нулю, например:

д) равна нулю, если элементы двух строк или столбцов соответственно равны, например: .

5. Объём параллелепипеда, натянутого на три вектора в пространстве. Определитель третьего порядка.

При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c (см. Рисунок 2). Такое произведение трех векторов называется смешанным.

На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определитель третьего порядка

Таблица вида называется квадратной матрицей третьего порядка. Соответствующие элементы а11, а12, а13, а21, а22, а23, а31, а32, а33 называются элементами матрицы. Элементы Матрицы образуют ее строки и столбцы. Для обозначения элемента матрицы используют двойной индекс. Первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, на пересечении которых находится элемент. Так, элемент aik расположен на пересечении i-ой строки и k-го столбца. Определителем третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством det А = а11а22а33 + а12а23а31 + а13а21а32 - а31а22а13 - а21а12а33 - а11а32а23. Диагональ, образованная элементами а11, а22 и а33 называется главной. Диагональ, образованная элементами а31, а22 и а13 называется побочной. Чтобы запомнить правило вычисления определителя третьего порядка, достаточно мысленно построить так называемую "звезду Давида". Делается это следующим образом: Здесь указана звезда для положительных элементов. Находится произведение элементов по главной диагонали и по углам треугольников, одна из сторон каждого из которых параллельна главной диагонали. Всего три произведения по три элемента. Затем эти произведения суммируются (см. в определении). Здесь указана звезда для отрицательных элементов. Находится произведение элементов по побочной диагонали и по углам треугольников, одна из сторон каждого из которых параллельна побочной диагонали. Всего три произведения по три элемента. Затем эти произведения суммируются и отнимаются от суммы произведений положительных элементов (см. в определении).