Читайте также:
|
|
Теорема.
Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.
Доказательство.
Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда
;
так как вместе с также и , то , т.е.
Здесь , а .
Поэтому
Отсюда , что и требовалось доказать.
Заметим, что нарушение необходимого признака устанавливает расходимость ряда. Это значит, что если некоторого ряда , то такой ряд является расходящимся. В этом случае применение необходимого признака дает законченный результат. Если же для некоторого ряда этот признак выполнен, то соответствующий ряд может быть и сходящимся и расходящимся. В таких случаях, т.е. при выполнении условия , вопрос о сходимости ряда требует дальнейшего исследования.
Вопрос № 76
В двойном интеграле , где G - круг, ограниченный окружностью x 2 + y 2 = 2 x, перейти к полярным координатам с полюсом в точке O (0, 0) и вычислить полученный интеграл.
Решение.
Круг G изображен на Рис. 1, а.
Уравнения, связывающие (x, y) и полярные координаты (ρ, φ) с полюсом в точке O (0, 0), имеют вид
x = ρ cos φ, y = ρ sin φ, (1)
причем наглядно видно, что в качестве промежутка изменения φ можно взять сегмент - π /2 ≤ φ ≤ π /2. Подставляя выражения (1) в уравнение окружности, получим ρ 2 = 2 ρ cos φ, откуда ρ = 0 или ρ = 2 cos φ. Эти две кривые на плоскости (ρ, φ) при - π /2 ≤ φ ≤ π /2 ограничивают область g (см. Рис. 1, б), являющуюся прообразом области G при отображении (1). Якобиан отображения (1) равен ρ. Отметим, что на границе ρ = 0 области g, однако формула
(2)
замены переменных применима. Подынтегральная функция x 2 + y 2 в новых переменных равна ρ 2. По формуле (2) имеем
Полученный двойной интеграл по области g сводим к повторному:
(3)
и вычисляем повторный интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:
Замечание 1. Расстановку пределов интегрирования в повторном интеграле (3) можно произвести, рассматривая не область g, а изменение полярных координат в исходной области G. На Рис. 1(в) видно, что при каждом значении φ из промежутка [- π /2, π /2] переменная ρ изменяется от 0 (значение ρ в полюсе) до 2 cos φ (значение ρ на окружности, уравнение которой в полярных координатах имеет вид ρ = 2 cos φ). Таким образом, пределы интегрирования по φ - от - π /2 до π /2, а по ρ - от 0 до 2 cos φ.
Замечание 2. Обычно замена переменных в двойном интеграле производится с целью упрощения области интегрирования. Если в данном примере перейти к полярным координатам с полюсом не в точке O (0, 0), а в точке A (1, 0) (центре круга), т. е. по формулам x - 1 = ρ cos φ, y = ρ sin φ, то прообразом круга G окажется прямоугольник (наиболее простая область) σ = {(ρ, φ): 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ 2 π } (см. Рис. 1, г). Выражение для подынтегральной функции примет вид x 2 + y 2 = 1 + 2 ρ cos φ + ρ 2. В этом случае, используя формулу (2) и сводя двойной интеграл к повторному, получим
Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 16 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |