Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Отделение корней уравнения.

Приближение числа. Абсолютная и относительная погрешности. Погрешность суммы и разности.

Приближённое число (а)-число не значительно отличающееся от точного числа (а) и заменяющее последние в вычислениях.

а-а- ошибка или погрешность. Абсолютная погрешность (∆): ∆а=|a –a| Погрешность не может быть отрицательна. Относительная погрешность(σ): σа=∆а/|а|. Предельная абсолютная погрешность(∆а*)- число ∆а* заведомо превышающее ∆а ∆а≤∆а*

Из ∆а=|a –a| получаем |a –a|≤∆а*; а-∆а*≤а≤ а+∆а*; σа*=∆а*/|а|; σа*=∆а*/|а|; а=а±∆а*

Теорема1: Абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких приближенных чисел не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей этих чисел.

При сложении и вычитание приближённых чисел складываются их предельные абсолютные погрешности. U=x-y; ∆u*=∆x*+∆y* При приближённом вычитании следует по возможности избегать вычитания двух приближенно равных чисел т.к. относительная погрешность результата может быть весьма большой даже при малых значениях ∆х* и ∆у*

2)

Погрешность функции одной и нескольких переменных. Погрешность произведения и частного.

Пусть функция u=f(x ₁, x ₂,…, x _n) непрерывно дифференцируема в области G<Rⁿ Которой принадлежит точка (х ₁, х ₂,…, х _n)€G ∆u=f(х ₁, х ₂,…, х _n)- f(х₁,х₂,…,х_n)=f(x₁-∆x₁; x₂-∆x₂;…; x_n-∆x_n)- f(х₁,х₂,…,х_n)≈ ≈du=∑_i=1ⁿdf ∆x_i/dx_i

∆u*=∑_i=1ⁿ|df /dx_i |∆x_i -основная формула погрешности. Из неё могут быть получены все основные соотношения для погрешности алгебраической суммы, произведения, частного, степени, корня.

Формула погрешности частного: u=x/y; du/dx=1/y; du/dy=-x/y² ∆u*=|1/y|∆x*+|-x/y²|∆y*; σu*= |1/y*y/x|∆x*+|-x/y²*y/x|∆y*; σu*= ∆x*/|x|+∆y*/|y|; σu*= σx*+σy*;

3)

Отделение корней уравнения.

1Определение возможности малых промежутков [а;b] в которых содержится только один корень уравнения F(x)=0 2Уточнение приближённых корней до заданной степени точности.

Теорема1 Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а;b] и принимает на концах значения разных знаков, т.е. F(a)F(b)<0 то внутри [а;b] существует хотя бы один корень уравнения F(x)=0 (достаточное условие). Если F(x) не прерывна на отрезке [а;b], F(a)F(b)<0 и производная F’(x) на интервале [а;b] сохраняет свой знак то внутри отрезка [а;b] существует единственный корень уравнения F(x)=0

Задача отделения корней состоит в нахождении отрезка [а;b] на концах которого функция f(x) принимает значения различных знаков.

Табулирование функции: Разработав простую программу для ЭВМ можно визуально определить интервалы в которых функция меняет свой знак.

а) Аналитических. Учитывает особенности F(x) основа на её анализе и вычисление критических точек (определение интервала монотонности). Составляется таблица знаков функции F(x) пологая не равным и критическим точкам (корням производной или близких к ним). Граничным значениям (находя из области допустимого значения неизвестного). Пример…

б) Графический способ- является одним из наиболее распространенных методов отделения корней. Уравнение F(x)=0 заменяется равносильным ему уравнением вида: f(x)=g(x), где f(x) и g(x) более простые чем F(x). Построив графики функции y=f(x) и y=g(x) искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков. Пример…

4)