Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Метод касательных (метод Ньютона). Достаточное условие сходимости.

Читайте также:
  1. A) Метод обучения.
  2. A) Метод опроса
  3. A) Новый метод мониторинга доказал свою надежность.
  4. A) определение спроса на товар, оценка издержек производства, выбор метода ценообразования, установление окончательной цены
  5. A. метод абсорбции
  6. B. Основные приложения метода координат на плоскости.
  7. C) Методы исследования
  8. C.) К специфическим задачам, которые используются в ходе реализации частично-поисковых методов на уроке технологии, относятся
  9. D)практических методов.
  10. DCF - это метод дисконтированных денежных потоков,

Пусть х корень уравнения F(x)=0 отделенный на интервале [a;b] F(x)€C2[a;b] причём F’(x) и F’’(x) на отрезке [a;b] сохраняют свой знак. х ̃ xn €[a;b] Итерационный процесс уточнения приближения значения xn методом Ньютона может быть описан следующим образом: x =xn+∆xn где ∆xn -поправка, погрешность. x =xn+О∆xn Используя разложение функции F(x) в ряд Тейлора в окрестности точки xn получаем F(x)=F(xn)+F’(xn)(x-xn)+(F’’(O)(x-xn)2)/2=0 O€[a;b] F(xn)+F’(xn)∆xn+O(∆x2n)=0; ∆xn=-F(xn)/F’(xn)+ O(∆x2n); x =xn-F(xn)/F’(xn)+ O(∆x2n); xn+1= xn-(F(xn)/F’(xn))-Описывает алгоритм уточнения приближённого значения корня уравнения методом Ньютона.

Х = xn+1+ O(∆x2n); x0=b; y-F(b)=F’(b)(x-b); y=0; -F(b)=F’(b)(x1-b); x1=b-(F(b)/F’(b)) В качестве начального приближения выберем такое х0 для которого выполняется условие F(x0)F’’(x0)>0.

Достаточное условие сходимости: Пусть F(x)=0; F(x)€C2[a;b](определена и дважды дифференцируема). Причем F(a)F(b)<0 И F’(х) и F’’(x) на [a;b] сохраняют свой знак, тогда исходя из начального приближения x0 c отрезка [a;b] удовлетворяющего условию F(х0)=F’’(x0)>0(1) можно построить последовательность xn-1=xn-(F(xn)/F’(xn)) n=0;1;2;3;… (2) сходящейся к единственному на [a;b] корню х {xn}→ х Д-во: Для определённости положим F(a)<0; F(b)>0 F’(x)>0; F’’(x)>0 В соответствии с (1) (тем что F’(x)>0) мы принимаем что F(x0)>0 следует что x0> x Методом математической индукции докажем что все xn> x и следовательно F(xn)>0 Действительно x0> x Положим что xn> x докажем что из этого следует xn+1> x Воспользуемся формулой Тейлора: F(x)=F(xn)+F’(xn)(x-xn)+(F’’(O)(x-xn)2)/2=0 Т.к. F’’>0 то F(xn)+F’(xn)(x-xn)<0 x <xn-(F(xn)/F’(xn))=xn+1 Таким образом неравенство выполняется для всех n. Покажем что xn+1<xn из (2) следует F(xn)>0 и F’(xn)>0 то xn+1-xn=-F(xn)/F’(xn)<0 тогда xn+1<xn Таким образом последовательность приближений это ограниченная монотонно убывающая последовательность следовательно она всегда имеет предел limn→∞xn= x Передём к пределу в (2): limn→∞xn+1= limn→∞xn-(F(limn→∞xn)/F’(limn→∞xn)); x = x -(F(x)/F’(x)); F(x)=0 Таким образом применяя метод Ньютона в качестве начального приближения х0 следует выбрать тот конец интервала [a;b] для которого выполняется F(x0)F’’(x0)>0

 

7)



Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 17 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав
1 | <== 2 ==> | 3 | 4 | 5 |

lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.005 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав