Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Интерполяционный многочлен Лагранжа. Погрешность интерполяции.

Читайте также:
  1. Дополнительные требования к коммерческому и линейному пилотам, а также к пилоту многочленного экипажа самолета
  2. Интерполяционный многочлен Лагранжа имеет вид
  3. Интерполяционный многочлен Ньютона имеет вид
  4. Интерполяционный многочлен, формула Лагранжа.
  5. Каждая булева функция может быть представлена многочленом Жегалкина.
  6. Кольцо многочленов
  7. Математическая постановка задачи интерполирования. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
  8. Метод неопределенных множителей Лагранжа.
  9. Одночлен, многочлен. Действия с ними.

В общей постановке задача интерполирования может иметь бесконечное множество решений или совсем не иметь решений, задача становится однозначной если в качестве интерполирующей функции F(x) выбрать многочлен Pn(x) степени не выше n такой что: y0=Pn(x0);…; y1=Pn(x1)… yn=Pn(xn) (1) Многочлен удовлетворяющей (1) называется интерполяционным многочленом. Теорема: Для любых значений yi=f(xi) i=0,n и (n+1) различных узлов интерполяции xi существует единственный интерполяционный многочлен удовлетворяющий условию f(xi)=Pn(xi) i=0,n (2) Д-во: Представим Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn (3) Запишем (2) в резвёрнутой форме с учётом (3) получаем: { a0+a1x0+a2x0 2+…+anx0 n=y0; a0+a1x1+a2x1 2+…+anx1 n=y1;…..; a0+a1xn+a2xn 2+…+anxn n=yn; (4) Получим систему линейных алгебраических уравнений содержащих (n+1) неизвестную Определитель матрицы системы (4) это есть определитель Вандер-Монда ∆=|1, x0, x02,…,x0n; 1, x1, x12,…,x1n;…..; 1, xn, xn2,…,xnn; |=П(xj-xi) 0≤i<j≤n Равный произведению всевозможных разностей узлов. Т.к. узлы различны то определитель не может быть равен 0 поэтому решение системы уравнений (4) существует и единственно от сюда следует утверждение теоремы. Заметим что построение интерполционного многочлена на основе решения системы (4) через определители требует значительного объема вычислений особенно при большем числе узлов. Существуют более простые алгоритмы построения интерполяционных многочленов. Будем искать многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n. Ln(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x) (5) При этом потребуем чтобы каждый многочлен li(xi)-обращался в 0 во всех узлах интерполяции за исключением одного i-го числа где он должен равняться 1. li(xi)={0, i≠j; 0,i=j; i=0,n j=0,n; Легко проверить что этим условиям отвечает многочлен вида: li(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)/(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xi-1)(xi-xi+1)…(xi-xn) (6) Подставляя (6) в (5) получаем: Ln(x)= ∑i=0 nyi(x-x0)(x-x1)…(x-xn)/(xi-x0)(xi-x1)…(xi-xn) (7) Интерполяционный многочлен в форме (7) называется интерполяциооным многочленом Лагранжа. Замечание: Т.к. Интерполяцирнный многочлен (7) линейно зависит от yi=f(xi) то интерполяционный мночлен для суммы равен сумме интерполяционных многочленов для слогаемых.

Погрешность интерполяции. Всегда можно записать равенство f(x)=Ln(x)+R(x) (8) R(x)-характеризует позицию интерполяции. Если относительно f(x) не чего не известно кроме её значений в узлах интерполяции то не каких полезных суждений относительно остаточного члена R(x) сделать нельзя. f(x)€Cn+1[a;b]; [a;b]-отрезок содержащий все узлы интерполяции xi, i=0,n и некоторую точку х. Представим R(x)= ωn+1(x)r(x) (9) ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn) (10) Зафиксируем х их отрезка [a;b] но не совпадающую с узлом и х ≠хi и расмотрим функцию: U(x)=Ln(x)+ ωn+1(x)r(x)-f(x) (11) U(x) в (n+2) отрезка [a;b] обращается в 0. Это x=xi i=0,n и x= x По теорем е Ролля U’ оращается в 0 по крайней мере в (n+1) точке интервала [a;b]. U’’-обращается в 0 как минимум в n точках этого интервала. Т.О. найдётся хоть одна точка Ѯ €[a;b] которая U(n+1)(Ѯ)=0. Т.к. Ln(n+1)(x)=0 ωn+1 (n+1)(x)=(n+1)! То из (11) следует что U(n+1)(Ѯ)=(n+1)!r(x)-f(n-1)(Ѯ)=0; r(x)= f(n-1)(Ѯ)/(n+1)! Подставляя в (9) и (8) получаем: R(x)= ωn+1(x)f(n-1)(Ѯ)/(n+1)!; f(x)=Ln(x)+(f(n-1)(Ѯ) ωn+1(x)/(n+1)!) (12). Ѯ= Ѯ(x)€[a;b] На основании (12) вытекает оценка погрешности интерполяции в точке x |f(x)-Ln(x)|≤Mn+1n+1(x)|/(n+1)! Оценка max –погрешности интерполяции на всём отрезке [a;b] ||f(x)-Ln(x)||= maxx€[a;b] |f (x)-Ln(x)|< Mn+1max|ωn+1(x)|/(n+1)!; Mn+1=max x€[a;b] |f(n+1)(x)| Оценка погрешности требует дополнительной информации о поведении функции f(x) и её производных на интервале интерполяции.

 

25)




Дата добавления: 2015-04-22; просмотров: 16 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

1 | 2 | 3 | 4 | <== 5 ==> |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав