Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод Гаусса

Нехай дано систему m лінійних рівнянь з n невідомими

Серед цих рівнянь можуть бути такі, що

Далі вважатимемо, що система має розв’язок, тобто сумісна.

Якщо , то рівняння не задовольняє ніякі значення . У цьому разі система не має розв’язку, вона несумісна.

Якщо , то це рівняння задовольняють будь-які значення .

При цьому вираз називають не рівнянням, а тотожністю і записують . Тотожність можна вилучити із системи. При цьому решта рівнянь матиме ті самі розв’язки, що і раніше. Говорять, що системи з тотожністю і без тотожності рівносильні. Дві системи лінійних рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають однакові розв’язки.

Над системами лінійних рівнянь виконують операції, які називаються елементарними:

а) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння, помножених на деяке число λ;

б) перестановку рівнянь у системі;

в) вилучення із системи тотожності ;

г) множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля;

д) перенумерування як рівнянь, так і невідомих.

Ці операції не порушують рівносильності системи рівнянь.

За допомогою операції (а) можна вилучити будь-яке невідоме з усіх рівнянь системи, окрім одного. При цьому невідоме, яке вилучають, називається провідним невідомим; коефіцієнти при провідному невідомому називаються провідними елементами, а рівняння, у якому зберігається провідне невідоме, називається провідним рівнянням.

Як приклад вилучимо з (m-1)-го рівняння системи (6.1) невідоме x₁ і приймемо за головне перше рівняння. Для цього помножимо рівняння, з якого вилучимо x_1, на λ _{k ,} де k=2, 3, …, m, і додамо знайдене рівняння до головного. У результаті цього маємо

Поклавши , або , дістанемо рівняння, в якому відсутнє невідоме x₁. Аналогічно вилучимо з усіх рівнянь x₁, крім головного (першого) рівняння. Потім, взявши за головне рівняння знайденої системи, вилучимо x₂ з усіх наступних рівнянь і т. д. У результаті цього дістанемо так звану ступінчату систему

або систему у трикутній формі

Друга система має єдиний розв’язок, а перша система при r<n має n-r так званих вільних змінних, тобто невідомих, які набувають довільних значень.

Розглянута методика перетворення систем, називається методом послідовних вилучень невідомих Жордана ­­­– Гаусса, або, коротко, методом Гаусса.

Цей метод можна використовувати і для визначення сумісності системи. У цьому разі в результаті послідовного вилучення невідомих дійдемо системи, в якій деякі рівняння матимуть вигляд

Якщо в останніх рівностях хоча б одне з чисел d_k, k=r+1, r+2, …, m не дорівнює нулю, то початкова система несумісна.

Таким чином, методом Гаусса можна відшукати розв’язок будь-якої системи без попереднього визначення її сумісності.

Приклади 6.1. Розв’язати методом Гаусса систему

Р о з в ’ я з а н н я. Випишемо розширену матрицю системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

Таким чином:

Приклад 6.2. Показати, що система несумісна.

Р о з в ‘ я з а н н я. Випишемо розширену матрицю системи:

. Застосуємо до неї метод Гаусса елементарних перетворень:

-отримали, що 0=-44, це означає, що система розв’язків не має.

Відповідь. Система не сумісна.