Читайте также:
|
|
Графический – соответствие между аргументом и функцией задается посредством графика функции. Множество точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординаты – соответствующие им значения функции y.
5) Функция называется явно заданной, если она задана формулой , в которой правая часть не содержит зависимой переменной. Пример: .
Функция называется неявно заданной, если она задана уравнением , неразрешенным относительно зависимой переменной.
Функцию называют параметрически заданной, если соответствие между аргументом и функцией задается через вспомогательную переменную, параметр t.
Рассмотрим функцию , между переменными x и y существует взаимно-однозначное соответствие. Тогда соответствие между переменными х и у можно задать в виде . Эта функция называется обратной, по отношению к исходной функции. Очевидно, что функция будет обратной, для функции . Поэтому, обе эти функции называются взаимно-обратными. Графики взаимно-обратной функции изображаются одной и той же прямой, так как связь между переменными одна и та же, различие только в формате записи.
Обозначим, неизвестную переменную обратной функции , через x, а зависимую переменную через y.
Рассмотрим функцию , область значений которой является множество Z. Если на множестве Z определенна функция , то функция называется сложной функцией от х или функцией от функции или композицией функции. Переменная называется промежуточной переменной(аргументом) сложной функции. Сложная функция может иметь несколько промежуточных элементов.
6) Основные или простейшие элементарные функции:
– постоянная функция.
– степенная функция.
– показательная функция.
– логарифмическая функция.
– тригонометрические функции.
– обратные тригонометрические функции.
Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций с помощью числа арифметических операций и композиций, называется элементарной функцией.
7) Основные характеристики числовых функций:
Опр. Функция определяемая на множестве Х, симметрично относительно 0, называется четной, если для всех справедливо равенство ; нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат , график нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Опр. Функция называется периодической, если существует такое ненулевое число , что для всех x и из области определения функции справедливо равенство: .
Наименьшее число Т из всех числе r называется периодом функции . График периодической функции переходит сам в себя при сдвиге вдоль оси абсцисс на r единиц влево или вправо.
Опр. Функция определенная на множестве Х, называется ограниченной, если существует такое положительное число М, что для всех справедливо неравенство , если же такого числа не существует, то функция называется неограниченной. График ограниченной функции лежит между горизонтальными прямыми .
Опр. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если для любых, таких что справедливо неравенство. Возрастающие (убывающие), функции называются монотонными функциями.
8) Опр. Число а называется пределом функции при , если для любого положительного числа (каким бы малым оно не было) существует такое положительное число М, что для всех х удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Опр. Число а называется пределом функции при или в точке, если для любого положительного числа существует такое положительное число, что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство:.
Если при стремлении , аргумент принимает лишь значения меньше (больше) , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева (справа ).
Если , то предел функции в точке не существует.
9) Свойства пределов функций:
- Предел алгебраической суммы конечного числа функций, равен алгебраической сумме пределов этих функций.
- Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.
Отсюда, в частности, следует, что постоянный множитель можно выносить за знак предела функции, а предел натуральной степени функции равен этой степени от ее пределов.
- Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций при условии, что предел делителя не равен 0.
10) Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Обр. утв. Если предел функции точки равен 0, то эта функция является бесконечно малой при .
Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство .
Свойства бесконечно малых функций:
- Алгебраическая сумма бесконечно малых при функций, является бесконечно малой функцией.
- Произведение конечного числа бесконечно малых при функций, является бесконечно малой функцией.
- Произведение бесконечно малой при функции и ограниченной в некоторой окрестности точки функции является бесконечно малой функцией.
Теорема: Если функция при имеет предел равный а, то ее можно представить в виде суммы числа а и некоторой бесконечно малой при функции , то .
11) Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех неравных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .
Функция y=f(x) называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное лицо , что для всех х удовлетворяющих условию , выполняется неравенство
Если , есть бесконечно малая при () функция, то функция будет бесконечно большой при () функцией (и обратно).
Опр. Функция называется бесконечно малой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех и удовлетворяющих условию выполняется неравенство
Опр. Функция называется бесконечно большой функцией при , если для любого положительного числа существует такое положительное число , что для всех удовлетворяющих условию выполняется неравенство
Теорема: Если есть бесконечно малая при , то функция будет бесконечно большой при функцией.
Обр. утв. Если функция бесконечно большая при , то будет бесконечно большой при функцией.
12) , , , , , и др.
Алгоритм устранения неопределенности основных функций:
, где и – целые рациональные функции и . В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разлагаем числитель и знаменатель дроби.
, где и – рациональные функции. В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия выносим за скобку в числителе и знаменателе дроби x с наибольшим показателем, среди всех слагаемых дроби.
, где или – иррациональная функция и . В этом случае, имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия умножаем числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение, приводящее к формулам сокращенного умножения. В случае квадратного корня, на сопряженное иррациональное выражение, приводящее к разности квадратов.
13) Опр. Первым замечательным пределом называется , применяется при раскрытии неопределенности вида от выражений содержащих тригонометрические или обратные тригонометрические функции;
вторым замечательным пределом называется , применяется для раскрытия неопределенности вида от выражений содержащих степенно-показательную функцию.
14) Рассмотрим две бесконечно малые при функции и , если , где , то функции и , называются бесконечно малыми функциями одного порядка при .
Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, по сравнению с функцией при .
Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка, по сравнению с функцией при .
Опр. Бесконечно малые при функции и , называются эквивалентными, бесконечно малыми при , если .
Если бесконечно малая при функция, то верны следующие эквивалентности:
Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых функций не измениться, если каждую или одну из них заменить эквивалентной ей бесконечно малой функцией.
15) Опр. Функция называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и ее значение равно пределу функции в этой точке:
Если обозначить (приращение аргумента),
(приращение функции), то равенство можно записать в виде , т.е. если функция непрерывна в точке , то бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
Свойства функции непрерывности в точке:
- Если функции и непрерывны в точке , то их алгебраическая сумма, произведение и частное являются функциями непрерывности в точки .
- Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
16) Если в точке функция не является непрерывной, то эта точка называется точкой разрыва функции. Опр. Точка называется точкой устранимого разрыва функции если функция имеет конечный предел не равный значению функции:
Опр. Точка называется точкой разрыва первого рода функции , если в этой точке функция имеет конечные, неравные друг другу пределы слева и справа:
Величина, называется скачком функции в точке разрыва первого рода .
Опр. Точка называется точкой разрыва второго рода функции , если в этой точке, хотя бы один из односторонних пределов функции не существует или равен .
17) Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она называется непрерывной в интервале .
Если кроме этого функция непрерывна в точке справа, т.е. , а в точке слева, т.е. , то она называется непрерывной на отрезке .
Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Из теоремы следует, что если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Теорема Больцано-Коши: если функция непрерывна на отрезке и на концах его имеет значения противоположные по знаку, то обращается в по крайней мере, в одной точке интервала .
Геометрический смысл теоремы: график непрерывной функции, соединяющий точки в разных полуплоскостях относительно оси обязательно пересечет ось, по крайней мере, в одной точке.
Функция, имеющая разрыв хотя бы в одной точке, может перейти от отрицательного значения к положительному и, не обращаясь в .
Дата добавления: 2015-04-26; просмотров: 167 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |