Читайте также:
|
|
Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно представить в виде
Линейная часть приращения функции, т.е. называется дифференциалом функции и обозначается
Теорема о дифференцируемости функций
Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная. При этом.
Доказательство
Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что
Деля на
и переходя к пределу , получим
Достаточность. Пусть в точке существует производная
Это, по определению, означает, что
где - бесконечно малая величина. Отсюда следует, что
Но и поэтому
что и требовалось доказать.
Выражение для дифференциала
Для дифференцируемой функции . Это означает, что
.
Но если взять , то мы получим, что , т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно
Отсюда следует, что
т.е. производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.
Геометрический смысл дифференциала
есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке , то будет катетом, который противолежит углу в треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение На рисунке нарисован и отрезок , так что видно отличие и .
Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |