Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом .

Читайте также:
  1. B) Необходимо государственное вмешательство в развитие рыночной экономики.
  2. D.S. ингаляционно во время присупа. 1-2 дозы, при необходимости- повторить через 20-30 мин.
  3. I) обеспечения того, чтобы процедуры, помещения и материалы для голосования были подходящими, доступными и легкими для понимания и использования;
  4. Quot;Смотри, чтобы пять Каге об этом не узнали" – и Кейт отвернулась.
  5. Авксентий я теперича, -- важно ответил им леший. -- А за угощение спасибо. Скажите Любаве, чтобы завтра с утреца за ворота выглянула. Верну корзинку с лесными гостинцами.
  6. Административная задержка связана с наличием промежутка времени между признанием необходимости принятия фискальных мер правительством и их фактическим принятием.
  7. Азақстан Ұлттық Банкінің функциялары мен өкiлеттiктерi
  8. Американская практика работы по формированию необходимого общественного мнения
  9. Аналитическая функция маркетинга
  10. Английский капитал создал ФБП для того, чтобы единым блоком выступать против иностранных конкурентов в борьбе за рынки сбыта, источники сырья и сферы приложения капитала.

Функция называется дифференцируемой в точке, если ее приращение можно представить в виде

Линейная часть приращения функции, т.е. называется дифференциалом функции и обозначается

Теорема о дифференцируемости функций

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная. При этом.

Доказательство

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что

Деля на

и переходя к пределу , получим

Достаточность. Пусть в точке существует производная

Это, по определению, означает, что

где - бесконечно малая величина. Отсюда следует, что

Но и поэтому

что и требовалось доказать.

Выражение для дифференциала

Для дифференцируемой функции . Это означает, что

.

Но если взять , то мы получим, что , т.е. дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно

Отсюда следует, что

т.е. производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.


Геометрический смысл дифференциала

есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке , то будет катетом, который противолежит углу в треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение На рисунке нарисован и отрезок , так что видно отличие и .

 




Дата добавления: 2015-01-30; просмотров: 23 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== 1 ==> |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.007 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав