Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Краткие теоретические сведения

Метод наименьших квадратов

Краткие теоретические сведения

Пусть заданы n экспериментальных точек (x_i, y_i), и по ним нужно "наилучшим образом" провести теоретическую кривую. Будем предполагать, что вид этой кривой известен, а неизвестны только параметры b ₁, b ₂, …, b_m, входящие в аналитическое выражение для теоретической кривой y_th:

. (7.1)

Количество параметров m обычно значительно меньше числа точек n, поэтому теоретическая кривая не будет в точности проходить через все точки.

Экспериментальные данные y_i отягощены ошибками, которые нужно отсеять при построении теоретической кривой. Представим каждый i -й опыт в виде

, (7.2)

где z_i – случайная ошибка, относительно которой мы сделаем следующие предположения:

1. все z_i – независимые;

2. все z_i – нормально распределённые;

3. все z_i имеют одинаковые дисперсии;

4. все z_i имеют математическое ожидание, равное 0.

Обычно эти предположения выполняются: все опыты проводятся независимо, на результат каждого опыта влияет много мелких случайных факторов, все опыты проводятся в одинаковых условиях и при их проведении исключены систематические ошибки. Тогда плотность распределения каждой величины z_i имеет вид

, (7.3)

а совместная плотность распределения всех z_i – это

. (7.4)

Применим для построения теоретической кривой принцип максимума правдоподобия, который гласит: на практике, как правило, происходят события с максимальными вероятностями. В нашем случае это означает: значения параметров b ₁, b ₂, …, b_m должны быть такими, чтобы совместная плотность распределения всех z_i (7.4) была максимальной. Этого можно добиться, минимизируя величину

. (7.5)

Таким образом, принцип максимума правдоподобия приводит к методу наименьших квадратов: теоретическую кривую нужно проводить таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений теоретической кривой от экспериментальных точек была минимальной.

Если в качестве теоретической функции взять полином, то в MATLAB 'е для аппроксимации по методу наименьших квадратов можно использовать ту же команду polyfit, что и для интерполяции. Нужно только задать меньшую степень аппроксимирующего полинома. Можно также непосредственно минимизировать функцию L (b ₁, b ₂,…, b_m) (7.5).