Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Второй критерий эквивалентности λ-матриц

Читайте также:
  1. I. Внутреннее положение Англии во второй половине XVI в.
  2. VIII. КРИТЕРИЙ ЗАЧЕТА ОТВЕТА
  3. Актуальность социологических исследований культуры во второй половине ХХ века
  4. Американская литра второй половины 20в
  5. АНГЛИЯ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XVII ВЕКА. «СЛАВНАЯ РЕВОЛЮЦИЯ» И ЕЁ ЗНАЧЕНИЕ ДЛЯ ИСТОРИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ СТРАНЫ
  6. Архитектура второй половины ХIХ века
  7. Бағалау критерийі
  8. Базэл» рассказал о второй жизни олимпийских объектов
  9. Бовуар С. де. Второй пол. Т. 1 и 2. М.-СПб. 1997. С. 796-797; 801-807.
  10. Борьба за власть в правящей партии во второй половине 1920-х гг. Формирование режима личной власти И.В. Сталина.

Две -матрицы А( ) и В( ) порядка n эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют такие унимодулярные -матрицы U(λ) и V(λ) того же порядка n, что

. (13)

Введём сначала следующие понятия.

Определение 1

Назовём элементарной матрицей λ-матрицу

, (14)

отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на некотором i- м месте главной диагонали, , стоит произвольное число из поля Р, отличное от нуля. С другой стороны, назовём также назовём элементарной матрицей λ-матрицу

(15)

отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на пересечении i- й строки и j- го столбца, причём , стоит произвольный многочлен из кольца P[λ].

Определение 2

Всякая элементарная матрица унимодулярна.

Определение 3

Выполнение в λ-матрице любого элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева или справа на некоторую элементарную матрицу.

Определение 4

-матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она представима в виде произведения элементарных матриц.

Доказательство

Если А( )~В( ), то от А( ) можно перейти к В( ) при помощи конечного числа элементарных преобразований. Заменяя каждое из этих преобразований умножением слева или справа на элементарную матрицу, мы придём к равенству

(16)

где все матрицы элементарны и унимодулярны. Если, например, k=0, то есть элементарные преобразования совершались лишь над столбцами, то полагаем, что .

Если дана произвольная унимодулярная матрица W(λ), то она эквивалентна единичной матрице Е. Применяя проведённое выше доказательство вместо матриц А( ) и В( ) к матрицам Е и W(λ), мы из (16) получим равенство

, (17)

то есть матрица оказалась представленной в виде произведения элементарных матриц.

Приведём доказательство обратного утверждения. Пусть для матриц А( ) и В( ) существуют такие унимодулярные матрицы и V(λ), что имеет место равенство (13). Матрицы и V(λ) можно представить в виде произведений элементарных матриц. Равенство (13) перепишется в виде (16) и, заменяя каждое умножение на элементарную матрицу соответствующим элементарным преобразованием, мы получим, что А( )~В( ).




Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

Теорема о приведении λ-матрицы к каноническому виду | Жорданова матрица | Теорема о приведении квадратной матрицы к жордановой форме |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.008 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав