Читайте также:
|
|
Две -матрицы А( ) и В( ) порядка n эквивалентны тогда и только тогда, когда существуют такие унимодулярные -матрицы U(λ) и V(λ) того же порядка n, что
. (13)
Введём сначала следующие понятия.
Определение 1
Назовём элементарной матрицей λ-матрицу
, (14)
отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на некотором i- м месте главной диагонали, , стоит произвольное число из поля Р, отличное от нуля. С другой стороны, назовём также назовём элементарной матрицей λ-матрицу
(15)
отличающуюся от единичной матрицы лишь тем, что на пересечении i- й строки и j- го столбца, причём , стоит произвольный многочлен из кольца P[λ].
Определение 2
Всякая элементарная матрица унимодулярна.
Определение 3
Выполнение в λ-матрице любого элементарного преобразования равносильно умножению этой матрицы слева или справа на некоторую элементарную матрицу.
Определение 4
-матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она представима в виде произведения элементарных матриц.
Доказательство
Если А( )~В( ), то от А( ) можно перейти к В( ) при помощи конечного числа элементарных преобразований. Заменяя каждое из этих преобразований умножением слева или справа на элементарную матрицу, мы придём к равенству
(16)
где все матрицы элементарны и унимодулярны. Если, например, k=0, то есть элементарные преобразования совершались лишь над столбцами, то полагаем, что .
Если дана произвольная унимодулярная матрица W(λ), то она эквивалентна единичной матрице Е. Применяя проведённое выше доказательство вместо матриц А( ) и В( ) к матрицам Е и W(λ), мы из (16) получим равенство
, (17)
то есть матрица оказалась представленной в виде произведения элементарных матриц.
Приведём доказательство обратного утверждения. Пусть для матриц А( ) и В( ) существуют такие унимодулярные матрицы и V(λ), что имеет место равенство (13). Матрицы и V(λ) можно представить в виде произведений элементарных матриц. Равенство (13) перепишется в виде (16) и, заменяя каждое умножение на элементарную матрицу соответствующим элементарным преобразованием, мы получим, что А( )~В( ).
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |