Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Замена переменной в решении показательных уравнений. Примеры.

Решим уравнение:

4^х - 3·2^х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию. К двойке.

4^х = (2²)^х = 2^2х

Получаем уравнение:

2^2х - 3·2^х +2 = 0

А вот тут и зависнем. Предыдущие приёмы не сработают, как ни крутись. Придётся доставать из арсенала ещё один могучий и универсальный способ. Называется он замена переменной.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2^х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к потрясным результатам!) Просто всё становится ясным и понятным!

Итак, пусть

2^х = t

Тогда 2^2х = 2^х2 = (2^х)² = t²

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

t² - 3t+2 = 0

Ну что, осеняет?) Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант, получаем:

t₁ = 2

t₂ = 1

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нам икс нужен, а не t. Возвращаемся к иксам, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t₁:

t₁ = 2 = 2^х

Стало быть,

2^х = 2

х₁ = 1

Один корень нашли. Ищем второй, из t₂:

t₂ = 1 = 2^х

2^х = 1

Гм... Слева 2^х, справа 1... Неувязочка? Да вовсе нет! Достаточно вспомнить (из действий со степенями, да...), что единичка - это любое число в нулевой степени. Любое. Какое надо, такое и поставим. Нам нужна двойка. Значит:

1 = 2⁰

2^х = 2⁰

х₂ = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

х₁ = 1

х₂ = 0

Это ответ.

При решении показательных уравнений в конце иногда получается какое-то неудобное выражение. Типа:

2^х = 7

Из семёрки двойка через простую степень не получается. Не родственники они... Как тут быть? Кто-то, может и растеряется... А вот человек, который прочитал на этом сайте тему "Что такое логарифм?", только скупо улыбнётся и запишет твёрдой рукой совершенно верный ответ:

x = log₂7

Такого ответа в заданиях "В" на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях "С" - запросто.

В этом уроке приведены примеры решения самых распространённых показательных уравнений. Выделим основное.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать "в лицо".

Как обычно, в конце урока вам предлагается немного порешать.) Самостоятельно. От простого - к сложному.

Начнём?

Решить показательные уравнения:

6^х = 216

8^х+1 = 0,125

Посложнее:

2^х+3 - 2^х+2 - 2^х = 48

9^х - 8·3^х = 9

2^х - 2^0,5х+1 - 8 = 0

Найти произведение корней:

2^3-х + 2^х = 9

Получилось?

Ну, тогда сложнейший пример (решается, правда, в уме...):

7^0.13х + 13^0,7х+1 + 2^0,5х+1 = -3

Что, уже интереснее? Тогда вот вам злой пример. Вполне тянет на повышенную трудность. Намекну, что в этом примере спасает смекалка и самое универсальное правило решения всех математических заданий.)

2^5х-1 · 3^3х-1 · 5^2х-1 = 720^х

Пример попроще, для отдыха):

9·2^х - 4·3^х = 0

И на десерт. Найти сумму корней уравнения:

х·3^х - 9х + 7·3^х - 63 = 0

Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна... И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).

Ответы (в беспорядке, через точку с запятой):

1; 2; 3; 4; решений нет; 2; -2; -5; 4; 0.

Всё удачно? Отлично.

Есть проблемы? Не вопрос! В Особом разделе 555 все эти показательные уравнения решаются с подробными объяснениями. Что, зачем, и почему. Ну и, конечно, там имеется дополнительная ценная информация по работе со всякими показательными уравнениями. Не только с этими.)

Последний забавный вопрос на соображение. В этом уроке мы работали с показательными уравнениями. Почему я здесь ни слова не сказал про ОДЗ? В уравнениях - это очень важная штука, между прочим...