Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод последовательных уступок.

Идея этого метода заключается в том, что на каждом k-м шаге последовательной оптимизации вводится уступка ΔQ_k-1, характеризующая допустимое отклонение (к — 1)-го частного критерия от его минимального значения:

Q₁(x₁*) = min Q₁(x); Q_k(x_k*) = min Q_k(x), (2.45)

где

D_k = D∩D_k-1; D_k-1 = {x|Q_j(x) ≤ Q_j(x_j*) + ΔQ_j, j = 1, 2, …, k-1}.

Введение уступки ΔQ_k-1 no (k— 1)-му наиболее важному критерию позволяет улучшить значение k-го менее важного частного критерия. При этом для каждого k-ro критерия видно, ценой каких уступок по (к — 1)-му критерию приобретается тот или иной выигрыш.

Введение уступок ΔQ_k в виде относительных отклонений частного критерия Q_k (х) от его минимального значения Q_k* = Q_k (x_k*):

ω_k = (Q_k (x) – Q_k*)/Q_k*, k = 1, 2, …, s,

позволяет свертывание векторного критерия оптимальности реализовать с помощью метода минимизации уступок:

min {∑c_kω_k} (2.46)

при условии, что

(Q_k (х) – Q_k*)/Q_k* ≤ ω_k, k = 1, 2, …, s,

где c_k > 0 — весовые коэффициенты, определяющие важность уступки по k-му частному критерию оптимальности.

В частном случае равноценных и одинаковых уступок (c_k = 1/s и ω_k — для всех k = 1, 2, …, s) задача параметрической оптимизации (2.46) принимает следующий вид:

min ω (2.47)

при условии, что

(Q_k (х) – Q_k*)/Q_k* ≤ ω, k = 1, 2, …, s.

Решение задачи (2.47) позволяет получить не улучшаемое решение х°∈D_k, которое минимизирует общий верхний предел ω для относительных отклонений каждого частного критерия оптимальности Q_k (х) от его минимального возможного значения Q_k* = Q_k (x_k*).

Для несоизмеримых между собой по важности частных критериев оптимальности можно предположить, что они являются равноценными (одинаковыми по важности) для лица, принимающего решение. В этом случае естественным является стремление уравнять все значения однородных частных критериев между собой:

min Q_k(x), (2.48)

при условии, что

Q₁(x) = Q₂ (x) = … = Q_k (x) = … = Q_s (x).

Недостатком этого метода, называемого методом равенства частных критериев, является то, что в некоторых случаях задача (2.48) может оказаться неразрешимой либо ее оптимальное решение х* не будет являться эффективной точкой для исходной задачи векторной оптимизации.

Свертывание однородных частных критериев оптимальности, относительно которых имеется информация о том, что они являются равноценными по важности, может быть осуществлено при помощи аддитивного критерия оптимальности (2.27) с одинаковыми весовыми коэффициентами λ_i = 1/s, i = 1, 2, …, s:

min {1/s ∑Q_i(x)}(2.49)

Оптимальное решение задачи (2.49) обеспечивает получение не улучшаемого решения для исходной задачи векторной оптимизации, которое является «наилучшим в среднем» по всем частным критериям. Для получения не улучшаемого решения задачи векторной оптимизации, которое обеспечивает наилучшее приближение для частного критерия Q_k (х), наиболее удаленного от своего минимального значения
Q_k*, целесообразно применять метод гарантированного результата;

min max |(Q_k(x)-Q_k*)/Q_k*. (2.50)

Оптимальное решение задачи (2.50) обеспечивает наибольшую равномерность всех частных критериев оптимальности за счет подтягивания «наихудшего критерия» (критерия с наибольшим значением) до уровня остальных критериев. Нетрудно видеть, что задача (2.50) эквивалентна задаче параметрической оптимизации (2.47), реализующей метод минимизации равноценных и одинаковых уступок.

В том случае, когда о весовых коэффициентах λ_i однородных частных критериев Q_i (х) известно только то, что они принадлежат множеству

D_λ = {λ|λ_i ≥ λ ≥ 0, i = 1, 2, …, s; ∑λ_i = R},

свертывание векторного критерия оптимальности Q (х) = (Q₁ (х), …, Q_s (х)) можно проводить с помощью принципа гарантированного результата:

min max Ф(Q(x), λ), (2.51)

где Ф (Q (х), λ) — обобщенный критерий оптимальности.

Оптимальное решение х* экстремальной задачи (2.51) обеспечивает наименьшее значение обобщенного критерия оптимальности Ф для самого неблагоприятного сочетания весовых коэффициентов (λ₁, …, λ_s), которые в свою очередь зависят от значений частных критериев Q_i (х), i = 1, …, s, вычисленных в точках х∈D. В общем случае зависимость весовых коэффициентов λ_i от значений векторного критерия получить представляется невозможным. Поэтому рассмотрим решение задачи

max Ф(а(х), λ) (2.52)

для конкретных типов обобщенного критерия оптимальности Ф при фиксированных значениях варьируемых параметров х∈D.