Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ускорение

Следующий шаг на пути к уравнениям движения — это вве­дение величины, которая связана с изменением скорости дви­жения. Естественно спросить: а как изменяется скорость дви­жения? В предыдущих главах мы рассматривали случай, когда действующая сила приводила к изменению скорости. Бывают легковые машины, которые набирают с места за 10 сек скорость 90 км/час. Зная это, мы можем определить, как изменяется скорость, но только в среднем. Займемся следующим более сложным вопросом: как узнать быстроту изменения скорости. Другими словами, на сколько метров в секунду изменяется скорость за 1 сек. Мы уже установили, что скорость падающего тела изменяется со временем по формуле v=9,8t (см. табл. 8.4), а теперь хотим выяснить, насколько она изменяется за 1 сек. Эта величина называется ускорением.

Таким образом, ускорение определяется как быстрота изме­нения скорости. Всем сказанным ранее мы уже достаточно под­готовлены к тому, чтобы сразу записать ускорение в виде производной от скорости, точно так же как скорость записы­вается в виде производной от расстояния. Если теперь продиф­ференцировать формулу v=9,8 t, то получим ускорение падаю­щего тела

a=dv/dt=9,8. (8.9)

(При дифференцировании этого выражения использовался ре­зультат, полученный нами раньше. Мы видели, что производная от Bt равна просто В (постоянной). Если же выбрать эту по­стоянную равной 9,8, то сразу находим, что производная от 9,8 t равна 9,8.) Это означает, что скорость падающего тела по­стоянно возрастает на 9,8 м/сек за каждую секунду. Этот же результат можно получить и из табл. 8.4. Как видите, в случае падающего тела все получается довольно просто, но ускорение, вообще говоря, непостоянно. Оно получилось постоянным толь­ко потому, что постоянна сила, действующая на падающее тело, а по закону Ньютона ускорение должно быть пропорциональ­но силе.

В качестве следующего примера найдем ускорение в той задаче, с которой мы уже имели дело при изучении скорости:

s=At³+Bt+C.

Для скорости v—ds/dt мы получили формулу

v=3At²+B.

Так как ускорение — это производная скорости по времени, то для того, чтобы найти его значение, нужно продифференци­ровать эту формулу. Вспомним теперь одно из правил табл. 8.3, а именно что производная суммы равна сумме производных. Чтобы продифференцировать первый из этих членов, мы не будем проделывать всю длинную процедуру, которую делали раньше, а просто напомним, что такой квадратичный член встречался нам при дифференцировании функции 5t², причем в результате коэффициент удваивался, a t² превращалось в t. Вы можете сами убедиться в том, что то же самое произойдет и сейчас. Таким образом, производная от ЗAt² будет равна 6 Аt. Перейдем теперь к дифференцированию второго слагаемого. По одному из правил табл. 8.3 производная от постоянной бу­дет нулем, следовательно, этот член не даст в ускорение ника­кого вклада. Окончательный результат: a=dv/dt=6At.

Выведем еще две полезные формулы, которые получаются интегрированием. Если тело из состояния покоя движется с постоянным ускорением g, то его скорость v в любой момент времени t будет равна

v=gt,

а расстояние, пройденное им к этому моменту времени,

s=¹/₂gt².

Заметим еще, что поскольку скорость — это ds/dt, а ускоре­ние — производная скорости по времени, то можно написать

Так что теперь мы знаем, как записывается вторая произ­водная.

Существует, конечно, и обратная связь между ускорением и расстоянием, которая просто следует из того, что a=dv/dt. Поскольку расстояние является интегралом от скорости, то оно может быть найдено двойным интегрированием ускорения.

Все предыдущее рассмотрение было посвящено движению в одном измерении, а теперь мы коротко остановимся на движе­нии в пространстве трех измерений. Рассмотрим движение частицы Р в трехмерном пространстве. Эта глава началась с об­суждения одномерного движения легковой машины, а именно с вопроса, на каком расстоянии от начала движения находится машина в различные моменты времени. Затем мы обсуждали связь между скоростью и изменением расстояния со временем и связь между ускорением и изменением скорости. Давайте в той же последовательности разберем движение в трех измерениях. Проще, однако, начать с более наглядного двумерного случая, а уж потом обобщить его на случай трех измерений. Нарисуем две пересекающиеся под прямым углом линии (оси координат) и будем задавать положение частицы в любой момент времени расстояниями от нее до каждой из осей. Таким образом, положе­ние частицы задается двумя числами (координатами) х и у, каж­дое из которых является соответственно расстоянием до оси у и до оси х (фиг. 8.3). Теперь мы можем описать движение, составляя, например, таблицу, в которой эти две коорди­наты заданы как функции времени. (Обобщение на трех­мерный случай требует введения еще одной оси, перпендикулярной двум первым, и измерения еще одной координаты г. Однако теперь расстояния берутся не до осей, а до координат­ных плоскостей.) Как определить скорость частицы? Для этого мы сначала найдем составляющие скорости по каждому направ­лению, или ее компоненты. Горизонтальная составляющая ско­рости, или x-компонента, будет равна производной по времени от координаты х, т. е.

v_x=dx/dt (8.11)

а вертикальная составляющая, или y-компонента, равна

v_y=dy/dt (8.12)

В случае трех измерений необходимо еще добавить

v_z=dz/dt. (8.13)

Как, зная компоненты скорости, определить полную ско­рость в направлении движения? Рассмотрим в двумерном случае два последовательных положения частицы, разделенных корот­ким интервалом времени Dt = t₂-t₁и расстоянием Ds. Из фиг. 8.3 видно, что

(Значок » соответствует выражению «приблизительно равно».)

Фиг. 8.3. Описание движения тела на плоскости и вычисление его скорости.

Средняя скорость в течение интервала Dt получается простым делением: Ds/Dt. Чтобы найти точную скорость в момент t, нужно, как это уже делалось в начале главы, устремить Dt к нулю. В результате оказывается, что

В трехмерном случае точно таким же способом можно полу­чить

Ускорения мы определяем таким же образом, как и скорости: x-компонента ускорения а_х определяется как производная от x-компоненты скорости v_x (т. е. a_x=d²x/dt² — вторая производ­ная по времени) и т. д.

Давайте рассмотрим еще один интересный пример смешан­ного движения на плоскости. Пусть шарик движется в горизон­тальном направлении с постоянной скоростью u и в то же время падает вертикально вниз с постоянным ускорением g. Что это за движение? Так как v_x=dxldt=u и, следовательно, скорость v_x постоянна, то

x=ut, (8.17)

а поскольку ускорение движения вниз постоянно и равно - g, то координата у падающего шара дается формулой

y= -¹/₂gt². (8.18)

Какую же кривую описывает наш шарик, т. е. какая связь между координатами x и y? Из уравнения (8.18), согласно (8.17), можно исключить время, поскольку t=x/u, после чего находим

y=-(g/2u²)x² (8.19)

Эту связь между координатами х и у можно рассматривать как уравнение траектории движения шарика. Если изобразить ее графически, то получим кривую, которая называется параболой (фиг. 8.4).

Фиг. 8.4. Парабола, которую описывает падающее тело, бро­шенное с горизонтальной началь­ной скоростью.

Так что любое свободно падающее тело, будучи бро­шенным в некотором направлении, движется по параболе.