Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Алгебраическая, геометрическая и показательные формы комплексного числа

Тригонометрическая (по лекция почему-то геометрическая) форма

Абсцисса а и ордината b комплексного числа а +bi выражаются через модуль r и аргумент φ (фиг. 5) формулами

а = r cos φ; b = r sin φ; φ=arctg b/a; r= .
Поэтому всякое комплексное число можно представить в виде r (cos φ + isin φ), где r≥0.
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 1. Представить комплексное число – 3 – 3i в нормальной тригонометрической форме. Имеем:

Следовательно,
– 3 – 3i = 3 (cos (- 135˚) + isin (—135˚))

Алгебраическая форма комплексных чисел

где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось.

Показательная форма комплексного числа

Показательная и тригонометрические функции в области комплексных чисел связаны между собой формулой

которая носит название формулы Эйлера. Обосновать ее можно с помощью теории степенных рядов. Эта теория будет изложена в курсе математического анализа.

Пусть комплексное число в тригонометрической форме имеет вид . На основании формулы Эйлера выражение в скобках можно заменить на показательное выражение. В результате получим

Эта запись называется показательной формой комплексного числа. Так же, как и в тригонометрической форме, здесь , .

2. Интегрирование рациональных функций

Для интегрирования рациональной функции, где P (x) и Q (x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

Шаг 1. Преобразование неправильной рациональной дроби

Если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

где - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложить знаменатель Q (x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений

Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней.

Шаг 3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,... должно быть равно степени знаменателя Q(x).
Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов A_i, B_i, K_i, L_i, M_i, N_i,.... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Вычислить интегралы от простейших дробей.