Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Проверка части С

Пожалуйста, оцените решения задач части С самостоятельно, руководствуясь указанными критериями.

Начало формы

Решите систему уравнений

Решение.

Из второго уравнения получаем:

или .

Если , то из первого уравнения . Уравнение не имеет решений. Если то , и из первого уравнения получаем: .

Ответ: .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2

В кубе найдите косинус угла между плоскостями и .

Решение.

Пусть точка O — центр куба, а M — середина . , а MO — средняя линия треугольника , поэтому . Треугольник — равносторонний, , следовательно, искомый угол равен углу .

Найдем стороны треугольника . Из треугольника , находим из треугольника находим

. ,

поскольку O — середина диагонали . Теперь применим к треугольнику теорему косинусов:

.

Ответ: .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2

Решите систему неравенств

Решение.

Заметим, что по смыслу задачи , а значит, оба слагаемых в левой части первого неравенства положительны. Поскольку слагаемые взаимно обратные, их сумма не меньше двух. Тогда неравенство выполнено в том и только в том случае, когда оба слагаемых равны 1.

Имеем:

.

Осталось проверить, является ли найденное решение первого неравенства решением второго неравенства. Выполним проверку:

.

Следовательно, число 5 является решением системы неравенств.
Ответ: .

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3

Гость 25.04.2012 22:18:

И неужели за такое вот решение проверяющие поставят 3 балла? А как же ОДЗ, в котором будет 8 случаев???

Служба поддержки:

Решение верно. Поставят полный балл.

Две окружности, радиусы которых равны 9 и 4, касаются внешним образом. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной.

Решение.

Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.

1 случай. Пусть окружность с центром имеет радиус , окружность центром имеет радиус , а окружность с центром O имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a.

Обозначим через A, B и C точки касания окружностей с прямой a, а через K, M и N — точки касания самих окружностей. Отрезки , и OC перпендикулярны прямой a как радиусы, проведенные в точки касания.

Опустим перпендикуляр из центра меньшей из данных окружностей на радиус большей окружности и перпендикуляры OE и OF из точки O на радиусы и . Поскольку , точки E, O и F лежат на одной прямой, а так как — прямоугольник, то .

Кроме того: , , , , , , .

Далее имеем:

;

.

2 случай. Пусть теперь окружность с центром имеет радиус , окружность с центром O имеет радиус , а окружность центром имеет радиус x и касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной a (см. тот же рисунок). Аналогично случаю 1 имеем:

;

; .

Ответ: 1,44 или 36.

Ваша оценка (баллов): — 0 1 2 3

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система имеет ровно 4 решения.

Решение.

Преобразуем систему:

Первое уравнение задает части двух парабол:

(см. рисунок).

Второе уравнение задает окружность радиусом с центром .

На рисунке видно, что четыре решения системы получаются в двух случаях.

1. Окружность касается каждой из ветвей обеих парабол.

2. Окружность пересекает каждую из ветвей обеих парабол в двух точках, лежащих по разные стороны от оси абсцисс.

Составим уравнение для ординат общих точек окружности и параболы . Получим: , откуда

.

Чтобы окружность касалась парабол, уравнение должно иметь нулевой дискриминант: , откуда

.

Во втором случае радиус окружности заключен между числами 3 и 9.

Ответ: , , , .

Конец формы