Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня расположенного на 44 мэВ выше уровня Ферми при температуре .

Дано:	Решение:
	Распределение Ферми-Дирака для электронов:

Это распределение и будет вероятностью заполнения электронами определенного энергетического уровня:

.

Ответ:

Задача 2. Определите максимальную энергию, которой могут обладать свободные электроны в металле при абсолютном нуле. Принять, что на каждый атом металла приходится по одному электрону. Массовое число металла равно 67, а плотность металла . Ответ представьте в электрон-вольтах.

Дано:	Решение:
А = 67	Максимальная энергия, которой могут обладать свободные электроны в металле при абсолютном нуле равна энергии Ферми . Массовое число А; – число нуклонов. Энергию Ферми определим по формуле:

,

где . Окончательно получим:

.

Ответ:

1. Задача 3. До какой температуры надо было бы нагреть классический электронный газ, чтобы средняя энергия его электронов оказалась равной средней энергии электронов в металле при Т = 0. Принять, что на каждый атом приходится один электрон. Плотность металла , массовое число 58.

Дано:	Решение:
А = 58	Средняя энергия электронов ; с другой стороны ; ; . ; Концентрация ,

т.к. ; .

Окончательно получим:

Ответ:

2. Задача 4. Найти максимальную энергию фонона который может возбудиться в кристалле, температура Дебая которого θ _D = 300 К.

Дано:	Решение:
θ D = 300 К	Наибольшая частота колебаний, которые могут возбудиться в кристаллической решетке связана с температурой Дебая θ D соотношением ,

где k – постоянная Больцмана, ħ – постоянная Планка

Следовательно, определится как:

.

Ответ:

3. З а д а ч а 5. Максимальная энергия фонона, который может возбудиться в кристалле, равна . Фотон какой длины волны λ обладал бы такой же энергией.

Дано:	Решение:
	Обозначим через максимальную энергию фонона, который может возбудиться в кристалле. Наибольшая частота колебаний этого фонона связана с температурой Дебая соотношением ,

где k – постоянная Больцмана, ħ – постоянная Планка. Следовательно, определится как: .

Длина световой волны определяется по формуле: , где с – скорость света. Отсюда, длину волны фотона с частотой найдем как:

.

.

Ответ:

4. З а д а ч а 6. Определить температуру, при которой теплоемкость электронного газа будет равна, теплоемкости кристаллической решетки лития. Энергия Ферми для лития равна 4,72 эВ, характеристическая температура Дебая .

Дано:	Решение:
	По условию молярная теплоемкость электронного газа равна теплоемкости кристаллической решетки лития: . .

,

где z – атомный номер лития; – энергия Ферми.

Согласно , получим:

.

.

Ответ: .

Задача 7.Определить количество тепла, необходимого для нагревания кристалла NaCl массой 20 г от температуры 2 К до 4 К. Характеристическую температуру Дебая Т_D для NaCl принять равной 320 К.

Дано:	СИ	Решение. Тепло, подводимое для нагревания тела от температуры Т1 до Т2, может быть вычислено по формуле: , (1) где С – теплоемкость тела.
m = 20 г	2·10-2 кг
Т1 = 2 К Т2 = 4 К М = 58,5·10-3 кг/моль R = 8,31 Дж/(моль·К) ТD = 320 К
Q –?

Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью соотношением:

, (2)

где m – масса тела,

с_м – молярная теплоемкость тела,

М – молярная масса.

Подставив выражение (2) в формулу (1), получим:

(3)

В общем случае молярная теплоемкость с_м есть сложная функция от температуры. Однако если выполняется условие Т << T_D, то нахождение Q облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, согласно которому молярная теплоемкость пропорциональна кубу термодинамической температуры:

. (4)

Подставив выражение (4) в формулу (3), получим:

. (5)

Выполним интегрирование:

.

Производим вычисления:

.

Ответ: Q = 1,21 мДж.

Задача 8. Закон Стефана - Больцмана

Задача 9. 1 и 2 законы Вина.

5. Задача 10. Во сколько раз изменится при повышении температуры от 300 до 310 К электропроводность σ собственного полупроводника, ширина запрещенной зоны которого .

Дано:	Решение:
	Зависимость электропроводности σ собственного полупроводника от температуры определяется следующим выражением: , где k – постоянная Больцмана, – ширина запрещенной зоны . Отсюда запишем отношение .

.

.

Ответ:

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ И НОМЕРА ЗАДАЧ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

ЗАДАЧИ

3.1. Распределение Ферми – Дирака. Энергия Ферми.

1. Какова вероятность заполнения электронами в металле энергетического уровня, расположенного на 0,01 эВниже уровня Ферми, при температуре 18°С?

2. Найти разницу энергий (в эВ) между электронами, находящимися при температуре 27°С на уровнях, вероятность заполнения которых равна 0,20 и 0,80.

3. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,1 эВ выше уровня Ферми, а температура изменяется от 1000 до 300 К.

4. Как и во сколько раз изменится вероятность заполнения электронами энергетического уровня в металле, если уровень расположен на 0,01 эВ ниже уровня Ферми, а температура изменяется от 200 до 2000 К?

5. Во сколько раз отличается вероятность заполнения в кристалле натрия уровня, энергия которого на 0,5% меньше энергии Ферми, при температурах 300 К и 70 К?

6. Определить, какая часть электронов проводимости в металле при абсолютном нуле температуры имела бы кинетическую энергию, большую 0,50 W_F.

7. Какая доля электронов в металле при 0 К имеет энергии в интервале от 0,50W_F до 0,51W_F?

8. Оценить, какая доля свободных электронов в меди при температуре 0 К имеет энергию, не превышающую среднюю энергию электронов в меди при этих условиях.

9. Полагая, что на каждый атом меди в кристалле приходится по одному свободному электрону, оценить долю электронов, энергии которых при абсолютном нуле лежат в интервале от 0.90 максимальной до максимальной.

10. Электроны в металле находятся при температуре 0 К. Найти относительное число свободных электронов, кинетическая энергия которых отличается от энергии Ферми не более, чем на 2%.

11. Вычислить энергию Ферми для алюминия при температуре 0 К. Алюминий считать трехвалентным.

12. Определить концентрацию свободных электронов в металле, для которого уровень Ферми соответствует 6,3 эВ при температуре 0 К.

13. Найти среднюю энергию электронов в металле при 0К, если их концентрация равна 3,6×10²⁹ м^-3.

14. При какой концентрации свободных электронов в кристалле температура Ферми (температура вырождения) электронного газа в нем равна 0 °С?

15. Вычислить среднюю энергию электронов в кристалле натрия при температуре абсолютного нуля.

16. Полагая, что на каждый атом меди приходится по одному свободному электрону, определить температуру, при которой средняя кинетическая энергия электронов классического электронного газа равнялась бы средней энергии свободных электронов в меди при 0 К.

17. Давление электронного газа в металлах является одним из основных факторов, определяющих их сжимаемость. Найти давление электронного газа при температуре0 К в металле, у которого концентрация электронного газа равна 8,5×10²² см^-3. Эффективную массу считать равной массе свободного электрона.

18.

19.

20.