Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теорема (Абеля).

Если степенной ряд (2)

сходится в некоторой точке ,

то он сходится (причем абсолютно) при всех значениях x,

удовлетворяющих условию .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Так как точка сходимости ряда (2), то числовой ряд

(4)

сходится. Тогда . Следовательно, можно найти такое положительное число M, чтобы для любого номера n выполнялось условие

. (5)

Ряд (2.2) является в общем случае знакопеременным, поэтому, чтобы исследовать его сходимость, возьмем ряд из абсолютных величин его членов

, (6)

который перепишем в виде

(7)

Возьмем для сравнения ряд

, (8)

являющийся при абсолютно сходящимся (ряд геометрической прогрессии со знаменателем ). Используя неравенство (5), будем иметь

.

По признаку сравнения ряд (2.7) сходится, тогда и ряд (2.6) сходится при .

Следовательно, при указанных значениях аргумента ряд (2.2) сходится абсолютно. #

Следствие. Если степенной ряд

расходится в точке x₁, то он расходится и при всех x, для которых .

Действительно, если бы ряд сходился в точке , для которой , то по теореме Абеля он сходился бы при всех x, для которых , следовательно, и в точке x₁, что противоречит условию.

Из теоремы Абеля следует: