Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Системы однородных линейных уравнений.

Фундаментальная система решений

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений:

Пусть

Тогда система имеет базисных (зависимых) переменных и свободных переменных. Общее решение запишется в виде

Выберем частных решений однородной системы, полученных из общего решения следующим образом: полагаем одо из значений свободных переменных равным , а остальные равными :

Эти решения образуют фундаментальную систему решений (ФСР) системы однородных линейных уравнений.

Примечание: количество решений в ФСР равно количеству неизвестных системы минус ранг матрицы системы .

Свойство:

1) Если все частные решения ФСР объединить в общую матрицу, то её ранг будет равняться количеству частных решений:

В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен .

2) Любое решение однородной системы можно единственным образом представить в виде линейной комбинации частных решений из ФСР. Общее решение можно записать в виде:

где , – любые числа.

Пример 1

Найти фундаментальную систему решений:

Решение

- число свободных переменных.

Обозначим ,

(в качестве свободных переменных обычно берут те, которые имеют на главной диагонали)

Общее решение можно записать в виде линейной комбинации частных решений из ФСР: , где и – любые числа.