Читайте также:
|
Установление формы и оценки тесноты корреляционной зависимости между случайными величинами X и Y.
Цель задания: закрепление знаний по основам теории корреляции; приобретение умений и навыков в проведении анализов статистических зависимостей.
Содержание задания: по данным корреляционной таблицы необходимо установить форму корреляционной зависимости, т.е. установить вид теоретической функции регрессии, оценить тесноту корреляционной зависимости между случайными величинами 
и 
и определить параметры теоретических линий регрессии по и по .
Методические указания к выполнению работы
Для установления формы корреляционной зависимости следует в прямоугольной системе координат построить эмпирическую ломаную регрессию по и по виду графика сделать заключение о предлагаемой форме связи между рассматриваемыми величинами и . Для оценки тесноты связи между величинами и следует вычислить коэффициент корреляционного отношения 
yx и коэффициент корреляции 
. Сравнив значения полученных показателей, сделать заключение о возможности использования прямолинейной формы для составления уравнений регрессии по и по . Затем вычислить средние квадратические погрешности для и yx, а также доверительные границы для них с вероятностью 0,99. Параметры искомых теоретических линий регрессии можно определить с помощью метода наименьших квадратов.
Пример. На 100 участках земли одинаковой площади с различным комплексом 
внесенных в них удобрений произведено обследование урожайности кукурузы 
. Результаты обследования представлены в табл.8, где 
и 
– суммы частот соответственно по столбцам и строкам таблицы:
Таблица 8
Количество зерна в центнерах, собранного с участка, 
| Количество удобрений в тоннах, внесенных на участок, 
| Итого
| ||||
| - | - | - | ||||
| - | - | - | ||||
| - | - | - | ||||
| - | - | - | ||||
| - | - | - | - | |||
| Итого
|
Числа первой строки таблицы означают, что 14 ц кукурузного зерна собрано на 10 участках с 1 т внесенных удобрений и на 8 участках с 2 т внесенных удобрений. На участках с количеством внесенных удобрений 3, 4 и 5 т урожайности в 14 ц не наблюдалось. Аналогично следует истолковать числа остальных строк таблицы.
Решение. Для построения эмпирических линий регрессии по и по найдем групповые средние 
и 
:
где 
– число участков, на которые было внесено тонны удобрений и собранно центнеров с гектара.
В данном примере 
В прямоугольной системе координат строим точки с координатами и . Точки последовательно соединяются отрезками прямой (см. рис.1). Полученная ломаная является эмпирической ломаной регрессии по . Расположение эмпирических точек на чертеже позволяет предположить наличие прямолинейной корреляционной зависимости между и .
Рис. 1. Эмпирические линии регрессии по (—) и по (‑‑‑).
Эмпирические корреляционные отношения по и по находятся по формулам:
где
– межгрупповые дисперсии,
– дисперсии случайных величин и , 
и 
– их средние значения, вычисляемые по формулам:
Вычисления проводятся с использованием табл. 1 и полученных значений в следующем порядке:
Значение 
, близкое к единице, говорит о высокой степени корреляционной связи между и .
Аналогично вычисляем:
Линейный коэффициент корреляции вычисляется по одной из формул:
где
С вычислительной точки зрения удобнее пользоваться последней формулой.
Для вычисления r удобно составить вспомогательную табл. 9
Таблица 9
|
|
| 
| 
|
| 
|
|
| 
| 
|
| 14,6 | |||||||||
| 15,8 | |||||||||
| 16,6 | |||||||||
| 17,6 | |||||||||
| - | - |
Близость значений 
и 
подтверждает предположение о линейной корреляционной зависимости между и . Значения линейного коэффициента корреляции, близкое к 1, говорит о высокой степени линейной корреляционной связи и , близкой к функциональной.
Доверительная оценка линейного коэффициента корреляции производится по следующей схеме:
а) находится средняя квадратическая ошибка по формуле:
б) вычисляется критерий 
;
в) по таблице находится 
(см. табл.1 прил.).
По значению оценивается коэффициент линейной корреляции: чем ближе значение к 1, тем достовернее вычисленный коэффициент . При 
можно считать, что вычисленный коэффициент корреляции практически достоверен. В данном случае 
.
Доверительные границы для определяются по формуле:
· нижняя граница = 
;
· верхняя граница = 
,
где 
решение уравнения 
доверительная вероятность.
В данном примере 
. По таблице значений находим 
, соответствующее 
Получим 
.
Вычисляем доверительные границы:
Окончательно: 
Аналогично оценивается и корреляционное отношение, для которого средняя квадратическая ошибка вычисляется по формуле:
Переходим к определению линейных уравнений регрессии:
уравнение прямой регрессии по ;
уравнение прямой регрессии по ,
где 
общие средние соответственно случайных величин и .
коэффициенты регрессии, которые вычисляются по формулам:
Если же , 
, 
не вычислялись, используются непосредственные формулы:
Все необходимые данные для вычисления 
и 
содержаться в табл. 9
Уравнение прямой регрессии по :
или окончательно 
Аналогично получим уравнение обратной регрессии по :
окончательно 
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 64 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |