Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Формула полной вероятности.

Пусть имеется группа событий H ₁, H ₂,..., H_n, обладающая следую­щими свойствами:

1) все события попарно несовместны: H_i H_j =Æ; i, j =1,2,..., n; i¹j;

2) их объединение образует пространство элементарных исходов W:

W = .

Рис.8

В этом случае будем говорить, что H ₁, H ₂,..., H_n образуют полную группу событий. Такие события иногда называют гипотезами.

Пусть А – некоторое событие: А Ì W (диаграмма Венна представлена на рисунке 8). Тогда имеет место формула полной вероятности:

P (A) = P (A / H ₁) P (H ₁) + P (A / H ₂) P (H ₂) +...+ P (A / H_n) P (H_n) =

Доказательство. Очевидно: A = , причем все события (i = 1,2,..., n) попарно несовместны. Отсюда по теореме сложения вероятностей получаем

P (A) = P () + P () +...+ P (

Если учесть, что по теореме умножения P () = P (A/H _i) P (H _i) (i = 1,2,..., n), то из последней формулы легко получить приведенную выше формулу полной вероятности.

Пример. В магазине продаются электролампы производства трех заводов, причем доля первого завода - 30%, второго - 50%, третьего - 20%. Брак в их продукции составляет соответственно 5%, 3% и 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампа оказалась бракованной.

Пусть событие H ₁ состоит в том, что выбранная лампа произведена на первом заводе, H ₂ на втором, H ₃ - на третьем заводе. Очевидно:

P (H ₁) = 3/10, P (H ₂) = 5/10, P (H ₃) = 2/10.

Пусть событие А состоит в том, что выбранная лампа оказалась бракованной; A/H_i означает событие, состоящее в том, что выбрана бракованная лампа из ламп, произведенных на i -ом заводе. Из условия задачи следует:

P (A/H ₁) = 5/10; P (A/H ₂) = 3/10; P (A/H ₃) = 2/10

По формуле полной вероятности получаем