Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Читайте также:
  1. C) Методы исследования
  2. DSM — система классификации Американской психиатрической ассоциации
  3. EIS и DSS системы.
  4. ERP имеет выходы во внешнюю среду и предназначена для решения задач комплексного управления предприятием.
  5. ERP-система
  6. GRID- системи
  7. I Объективные характеристики (потребление материальных благ; продолжительность жизни; система образования; время труда; показатель преступности);
  8. I. Общеметодологические (общесистемные) принципы.
  9. I. Судебно-следственная практика формирования системы доказательств по уголовному делу (постановка проблемы).
  10. I.1. Инновационный подход к системе освоения ценностей физической культуры и спорта.

ОТЧЕТ

По лабораторной работе № 3-4 по дисциплине вычислительная математика

 

 

Выполнил:

студент группы 4209

Еремин И.В.

Проверил:

Горбунов Д.А.

 

 

Казань 2011

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

Содержание работы:

1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.

2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.

3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .

4. Изменить и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций.

5. Составить отчет о проделанной работе.

Задание.

1. Аналитически решить СНУ вида:

 

(1)

2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы (1) при начальном приближении

 

(2)

3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.

 

Решение.

1. Аналитическим решением СНУ (1) являются точки (-3,11) и (1,3).

2. Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы (1) необходимо вначале привести ее к виду:

 

(3)

 

Для этого умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , второе – на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения x. Получим первое уравнение преобразуемой системы

 

, (4)

 

где . Далее, умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , а второе – на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения y. Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:

 

, (5)

 

где .

Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса: и .

Запишем эти условия более подробно:

 

 

Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :

 

(6)

 

Для решения системы (6) необходимо вычислить частные производные :

 

 

Тогда СЛАУ (6) запишется так:

 

 

Решением этой системы являются следующие значения: . Тогда рабочие формулы (4), (5) для решения СНУ (1) примут вид:

 

 

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

 

 

 

После преобразований данные формулы примут вид:

 

 

Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения (2), то:

 

 

Тогда СЛАУ (6) запишется так:

 

 

Тогда рабочие формулы (4), (5) МПИ для решения СНУ (1) примут вид:

 

 

Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:

(7)

 

Итерационный процесс (7) можно начать, задав начальное приближение (2). Процесс (7) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ (1).

3. Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде

(8)

где

необходимо:

1. Найти матрицу частных производных

 

 

2. Найти определитель этой матрицы:

 

 

4. Определить обратную матрицу:

 

 

Проведя преобразования, получим рабочую формулу метода Ньютона (8) в виде:

 

 

 

Блок схема процесса вычислений

Решение: в результате решения СНУ (1) при начальном приближении (2) методом простых итераций с точностью получено решение , а методом Ньютона.

 

Вывод: Система нелинейный уравнений (СНУ) была решена методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Метод простых итераций в этом случае оказался точней и вычисления итерационных формул получились в несколько раз меньше, чем в методе Ньютона.




Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 50 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

<== 1 ==> |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.01 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав