Читайте также:
|
|
ОТЧЕТ
По лабораторной работе № 3-4 по дисциплине вычислительная математика
Выполнил:
студент группы 4209
Еремин И.В.
Проверил:
Горбунов Д.А.
Казань 2011
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3-4.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений (СНУ) методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ.
Содержание работы:
1. Изучить МПИ и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений.
2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений МПИ и методом Ньютона с помощью ЭВМ.
3. Составить программу и с ее помощью решить систему уравнений с точностью .
4. Изменить и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций.
5. Составить отчет о проделанной работе.
Задание.
1. Аналитически решить СНУ вида:
(1)
2. Построить рабочие формулы МПИ и метода Ньютона для численного решения системы (1) при начальном приближении
(2)
3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенный итерационный процесс.
Решение.
1. Аналитическим решением СНУ (1) являются точки (-3,11) и (1,3).
2. Для построения рабочих формул МПИ для численного решения системы (1) необходимо вначале привести ее к виду:
(3)
Для этого умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , второе – на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения x. Получим первое уравнение преобразуемой системы
, (4)
где . Далее, умножим первое уравнение системы (1) на неизвестную постоянную , а второе – на , затем сложим их и добавим в обе части уравнения y. Тогда второе уравнение преобразуемой системы будет иметь вид:
, (5)
где .
Неизвестные постоянные определим из достаточных условий сходимости итерационного процесса: и .
Запишем эти условия более подробно:
Полагая равными нулю выражения под знаком модуля, получим систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 4 порядка с 4 неизвестными :
(6)
Для решения системы (6) необходимо вычислить частные производные :
Тогда СЛАУ (6) запишется так:
Решением этой системы являются следующие значения: . Тогда рабочие формулы (4), (5) для решения СНУ (1) примут вид:
Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:
После преобразований данные формулы примут вид:
Заметим, что если частные производные мало изменяются в окрестности начального приближения (2), то:
Тогда СЛАУ (6) запишется так:
Тогда рабочие формулы (4), (5) МПИ для решения СНУ (1) примут вид:
Для реализации на ЭВМ рабочие формулы можно переписать так:
(7)
Итерационный процесс (7) можно начать, задав начальное приближение (2). Процесс (7) заканчивается при одновременном выполнении двух условий: и . В этом случае значения и являются приближенным значением одного из решений СНУ (1).
3. Для построения рабочих формул метода Ньютона в виде
(8)
где
необходимо:
1. Найти матрицу частных производных
2. Найти определитель этой матрицы:
4. Определить обратную матрицу:
Проведя преобразования, получим рабочую формулу метода Ньютона (8) в виде:
Блок схема процесса вычислений
Решение: в результате решения СНУ (1) при начальном приближении (2) методом простых итераций с точностью получено решение , а методом Ньютона.
Вывод: Система нелинейный уравнений (СНУ) была решена методом простых итераций (МПИ) и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Метод простых итераций в этом случае оказался точней и вычисления итерационных формул получились в несколько раз меньше, чем в методе Ньютона.
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 50 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |