Читайте также:
|
Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий
А или В. Аналогично определяется сумма большего числа событий. Например, появление четной грани кости есть сумма трех событий: выпадения 2, или 4, или 6.
Теорема с л о ж е н и я вероятностей. Для несовместных событий Для совместных событий
Р{А или В) = Р(А) + Р(В) Р(А или В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ)
П р и м е р. Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по выстрелу). Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Суммой событий А и В будет событие С -А + 5, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком.
Произведением событий А и В называется событие С = АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и событие А и событие В. Аналогично произведением конечного числа событий А\, Аг Ак называется событие А - А\Аг.-Ль состоящее в том, что в результате испытания произошли все указанные события.
Теорема у м н о ж е н и я вероятностей. Для независимых событий Р(АиВ) = Р(АВ) = Р(А) х Р(В) Для зависимых событий Р(АиВ) = Р(А) х РА(В) = Р(В) х РВ{Л)
В условиях предыдущего примера произведением событий А и В будет событие С = АВ, состоящее в попадании в мишень двух стрелков.
Произведение несовместных событий — событие невозможное. Сумма и произведение событий аналогичны соответственно объединению и пересечению множеств (см. гл. 2).
Вероятность суммы А + В несовместных событий Аи В равна сумме вероятностей событий А и В:
Р(А +В) =Р(А) +Р(В).
В общем случае
Р(А +В)-Р(А) + Р(В) - Р(АВ).
П р и м е р. Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем вероятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым стрелком 0,5. Оба стрелка стреляют по команде (т.е. одновременно) один раз. Какова вероятность, что цель будет поражена хотя бы одним из стрелков?
Пусть А — попадание в цель первым стрелком, В — вторым стрелком, А л- В — поражение цели хотя бы одним стрелком, АВ — поражение цели обоими стрелками. По формуле имеем Р(А + В)= 0,8 + 0,5 - Р(АВ).
В данном примере можно считать события А и В независимыми, поэтому В(АВ) = Р(А)хР(В) = 0,8x0,5 = 0,4. Тогда В(А + В) = 0,9.
Условная вероятность — вероятность появления события А при условии, что произошло событие В, обозначается £VA| Вероятность произведения событий вычисляется с помощью условных вероятностей по
формуле Р(А и В) = Р(А) х РА (В) = Р(В) х Рв (А).
П р и м е р. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличающихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что сначала вынимают (не глядя) один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара черные?
Появление первого черного шара (событие А) имеет, очевидно, вероятность £>(А) = 5/12. Если первый шар оказался черным, то условная вероятность события В — появления второго черного шара (при условии,что первый шар был черным) — равна РА(В) = 4/11, так как перед выниманием второго шара осталось 11 шаров, из них 4 черных. Вероятность
вынуть два черных шара подряд можно подсчитать по формуле Р(А и В) = Р(А)хРА(В) = — - — = — ~ 0,152. А 12 11 33
События А и В называются независимыми, если условная вероятность Рв(А) равна безусловной абсолютной вероятности Р(А), Другими словами, для независимых событий появление одного из них не влияет на вероятность появления другого. Так, в предыдущем примере вероятность появления второго черного шара не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вынув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик. Вероятность про-
изведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АиВ) = Р(А)хР(В).
На практике независимые события встречаются очень часто, так как причинная связь явлений во многих случаях отсутствует или несущественна.
П р и м е р. Производят п бросаний монеты. Результат каждого бросания — случайное событие, вероятность которого естественно считать не зависящей от результатов других бросаний, поэтому результаты этих п испытаний можно считать независимыми событиями.
Формула полной ^L вероятности Р(А) = 2, ПН 1)РИ. {А)
Формула Байеса Р(Н j)Рц• {А)
(теорема гипотез) "А^** i/ = Р(А\
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 26 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |