Читайте также:
|
Предмет: ТФиФА Специальность: Физика. Математика
Семестр: 5 Уч. год: 2014–2015
Курс: 3 Группа: В
Форма контроля: экзамен Форма проведения: устный
Лектор: Сидоренко И.Н.
Теоретическая часть:
1. Эквивалентные множества. Понятие мощности множества.
2. Сравнение мощностей.
3. Теорема о мощности промежуточного множества.
4. Теорема Кантора – Бернштейна
5. Счетные множества и их свойства.
6. Счетность множества упорядоченных пар целых чисел.
7. Счетность множества рациональных чисел.
8. Счетность множества многочленов с рациональными коэффициентами.
9. Счетность множества алгебраических чисел.
10. Несчетные множества. Несчетность множества действительных чисел отрезка [0;1].
11. Свойства бесконечных множеств.
12. Множества мощности континуума. Мощность множества [a;b].
13. Мощность множества действительных чисел.
14. Мощность множества трансцендентных чисел.
15. Строение линейных открытых множеств. Составляющие интервалы. Основные свойства составляющих интервалов.
16. Теорема (прямая и обратная) о структуре линейного открытого множества.
17. Строение линейных замкнутых множеств. Смежные интервалы. Теорема (прямая и обратная) о структуре линейного замкнутого множества.
18. Совершенное линейное множество. Критерий изолированности точки. Критерий совершенности множества.
19. Канторово совершенное множество и его свойства.
20. Общее понятие меры. Внешняя и внутренняя меры множества и их свойства.
21. Мера Лебега. Множества, измеримые по Лебегу (не более, чем счетное, Q,R\Q, R из промежутка [a;b]).
22. Измеримость открытых и замкнутых множеств. Свойства множеств, измеримых по Лебегу.
23. Определение измеримой функции. Эквивалентность четырех вариантов определений измеримой функции.
24. Некоторые классы измеримых функций.
25. Понятие интеграла Лебега ограниченной, измеримой функции.
26. Основные свойства интеграла Лебега.
27. Интеграл Лебега от неограниченных функций. Суммируемые функции их свойства. Критерий суммируемости функции.
28. Определение тригонометрического ряда Фурье и коэффициентов Фурье.
Практическая часть:
1. Установить взаимно однозначное соответствие между окружностью и прямой.
2. Доказать эквивалентность множеств А и В, где А = [0,1], B = (a, b).
3. Установить взаимно однозначное соответствие между лучом [0, +∞) и всей числовой прямой.
4. Вычислить (L) 
, если f (x)=10 в точках канторова множества, а на смежных интервалах графиком функции служит верхняя полуокружность, опирающаяся на эти интервалы, как на диаметры.
5. Вычислить (L) , если f (x)=sin x в точках канторова множества, а на каждом из смежных интервалах f (x) принимает постоянное значение, равное длине соответствующего интервала.
6. Установить взаимно однозначное соответствие между [ a, b ] и (a, b).
7. Установить взаимно однозначное соответствие между (a,b) и всей числовой прямой.
8. Определить меру канторова совершенного множества.
9. Определить меру всех смежных интервалов канторова совершенного множества, заключенных в отрезке [0, 1].
10. Составить ряд Фурье для функции f (x)=| x |, x Î[-p;p].
11. Составить ряд Фурье для функции f (x)=3-2x, xÎ[-p;p].
12. Составить ряд Фурье для функции f (x)=3+2x, xÎ[-p;p].
13. Составить ряд Фурье для функции f (x)= –| x |, x Î[-p;p].
14. Найти меру множества 
15. Составить ряд Фурье для функции f (x)=3+x, xÎ[-p;p].
16. Составить ряд Фурье для функции f (x)=4-x, xÎ[-p;p].
17. Составить ряд Фурье для функции f (x)=1-2x, xÎ[-p;p].
18. Составить ряд Фурье для функции f (x)=2x, xÎ[-p;p].
19. Вычислить интеграл Лебега 
20. Вычислить интеграл Лебега по отрезку [0,1] от функции Римана.
21. Доказать измеримость функции Римана на отрезке [0, 1]
22. Составить ряд Фурье для функции f (x)=1-x, xÎ[-p;p].
Составитель И.Н. Сидоренко
УТВЕРЖДЕНО
на заседании кафедры _______________
зав. кафедрой С.В.Жестков
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 12 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |