Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Затухающие колебания материальной точки

Рассмотрим первый вариант движения точки, при котором n < k. В этом варианте общее решение дифференциального уравнения имеет два вида:

y = e^-nt(C₁cos(( )t) + C₂sin(( )t));

y = ae^-ntsin(( )t + β),

где С₁, С₂, a, β – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Эти выражения называют уравнениями затухающих колебаний материальной точки.

Пусть начальными условиями движения являются: t₀ = 0; y₀; . В этих условиях первый вид решения дифференциального уравнения выражается формулой

y = e^-nt(y₀cos(( )t) + (( +ny₀)/ )sin(( )t)).

Постоянную величину называют циклической частотой затухающих колебаний k^*, которую определяют по формуле

k^* = .

Величина k^* определяет число полных колебаний за промежуток времени, равный 2π = 6,28 с. Тогда имеем

y = e^-nt(y₀cos(k^*t) + (( + ny₀)/k^*)sin(k^*t)).

Как правило, для практических расчетов используют второй вид общего решения дифференциального уравнения движения точки.

y = ae^-ntsin(k^*t + β),

где (k^*t + β) – фаза затухающих колебаний; β – начальная фаза; a – постоянная интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования a и β используют следующую совокупность формул:

а = ;

tgβ = y₀k^*/( );

sinβ = y₀/ a;

cosβ = ( )/(аk^*).

Для характеристики затухающих колебаний используют понятие «период затухающих колебаний Т^*».

Период затухающих колебаний – промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя.

Период затухающих колебаний ( = 2π/k^*) больше периода свободных колебаний (T = 2π/k) точки.

На рис. 2.5 использованы начальные условия движения точки, приведенные на рис. 2.4. График затухающих колебаний располагается в зоне, ограниченной двумя кривыми линиями, описываемыми математическими выражениями: y = аe^-nt; y = – аe^-nt.

Для характеристики затухающих колебаний используют также понятие «амплитуда а_i затухающих колебаний».

Амплитуда затухающих колебаний – величина наибольшего отклонения точки в ту или другую сторону от положения статического равновесия в течение каждого колебания.

Из рис. 2.5 видно, что амплитуда затухающих колебаний переменна. При этом последующая амплитуда а_i+1 меньше предыдущей амплитуды а_i. Это уменьшение характеризуется отношением

а_i+1/ а_i = e^{– nT*/2} = const.

Число e^{– nT*/2} называют декрементом колебаний; натуральный логарифм, т. е. величину nT^*/2, называют логарифмическим декрементом.

Зная предыдущее значение а_i амплитуды, последующее значение а_i+1 находят по формуле

а_i+1 = а_i e^{– nT*/2}.

Следует отметить, что в некоторых учебниках коэффициент n сопротивления среды называют коэффициентом затухания.

Практика показывает, что затухание колебаний происходит очень быстро даже при малом сопротивлении. Так, например, при n = 0,05k имеем Т^*= 1,00125Т, e^–nT* = 0,7301, т. е. период Т^* затухающих колебаний отличается от периода Т свободных колебаний лишь на 0,125 %, а амплитуда а_i за время одного полного колебания уменьшается на 0,27 своей величины, и после 10 полных колебаний становится равной 0,043 своего первоначального значения.

Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.

Затухающие колебания называют также колебаниями с малым сопротивлением внешней среды.