Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Затухающие колебания материальной точки

Читайте также:
  1. Quot;Уже 2 дня прошло, а от нее даже весточки. Вот Анара вся в…" – опустила голову и закрыла глаза.
  2. Автоколебания.Генератор незатухающих колебаний.
  3. Акустические колебания, их характеристика и воздействие на организм.
  4. Апериодическое движение точки
  5. Аспектные анализы уроков с точки зрения его развивающих и воспитательных возможностей.
  6. Билет 10.Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
  7. БИТОЧКИ, ЗАПЕЧЕННЫЕ ПОД СМЕТАННЫМ СОУСОМ
  8. В каком диапазоне частот человек воспринимает колебания упругой среды как звук
  9. В САДОЧКЕ ГУЛЯЛА, ЦВЕТОЧКИ РВАЛА
  10. В чем сходство и различие между материальной ответственностью работника по трудовому праву и имущественной ответственностью граждан по нормам гражданского права?
Помощь в написании учебных работ
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь

 

Рассмотрим первый вариант движения точки, при котором n < k. В этом варианте общее решение дифференциального уравнения имеет два вида:

y = e-nt(C1cos(( )t) + C2sin(( )t));

y = ae-ntsin(( )t + β),

где С1, С2, a, β – постоянные интегрирования, определяемые по начальным условиям движения.

Эти выражения называют уравнениями затухающих колебаний материальной точки.

Пусть начальными условиями движения являются: t0 = 0; y0; . В этих условиях первый вид решения дифференциального уравнения выражается формулой

y = e-nt(y0cos(( )t) + (( +ny0)/ )sin(( )t)).

Постоянную величину называют циклической частотой затухающих колебаний k*, которую определяют по формуле

k* = .

Величина k* определяет число полных колебаний за промежуток времени, равный 2π = 6,28 с. Тогда имеем

y = e-nt(y0cos(k*t) + (( + ny0)/k*)sin(k*t)).

Как правило, для практических расчетов используют второй вид общего решения дифференциального уравнения движения точки.

y = ae-ntsin(k*t + β),

где (k*t + β) – фаза затухающих колебаний; β – начальная фаза; a – постоянная интегрирования.

Для определения постоянных интегрирования a и β используют следующую совокупность формул:

а = ;

tgβ = y0k*/( );

sinβ = y0/ a;

cosβ = ( )/(аk*).

Для характеристики затухающих колебаний используют понятие «период затухающих колебаний Т*».

Период затухающих колебаний – промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки в одном направлении через положение покоя.

 

Период затухающих колебаний ( = 2π/k*) больше периода свободных колебаний (T = 2π/k) точки.

 
 

На рис. 2.5 приведен общий вид графика затухающих колебаний.

 

На рис. 2.5 использованы начальные условия движения точки, приведенные на рис. 2.4. График затухающих колебаний располагается в зоне, ограниченной двумя кривыми линиями, описываемыми математическими выражениями: y = аe-nt; y = – аe-nt.

Для характеристики затухающих колебаний используют также понятие «амплитуда аi затухающих колебаний».

Амплитуда затухающих колебаний – величина наибольшего отклонения точки в ту или другую сторону от положения статического равновесия в течение каждого колебания.

 

Из рис. 2.5 видно, что амплитуда затухающих колебаний переменна. При этом последующая амплитуда аi+1 меньше предыдущей амплитуды аi. Это уменьшение характеризуется отношением

аi+1/ аi = e– nT*/2 = const.

Число enT*/2 называют декрементом колебаний; натуральный логарифм, т. е. величину nT*/2, называют логарифмическим декрементом.

Зная предыдущее значение аi амплитуды, последующее значение аi+1 находят по формуле

аi+1 = аi enT*/2.

Следует отметить, что в некоторых учебниках коэффициент n сопротивления среды называют коэффициентом затухания.

Практика показывает, что затухание колебаний происходит очень быстро даже при малом сопротивлении. Так, например, при n = 0,05k имеем Т*= 1,00125Т, enT* = 0,7301, т. е. период Т* затухающих колебаний отличается от периода Т свободных колебаний лишь на 0,125 %, а амплитуда аi за время одного полного колебания уменьшается на 0,27 своей величины, и после 10 полных колебаний становится равной 0,043 своего первоначального значения.

Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материальной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в затухании колебаний.

Затухающие колебания называют также колебаниями с малым сопротивлением внешней среды.

 

Доверь свою работу кандидату наук!
1500+ квалифицированных специалистов готовы вам помочь



Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 9 | Нарушение авторских прав

<== 1 ==> | 2 |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2022 год. (0.015 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав