Читайте также:
|
Билет 1. Понятие производной.
Опр. Пусть ф-ция f(x) определена в нек. Окрестности т.х0(U(x0)), и пусть х 
U(x0)=U(x0)\{x0} – произвольное значение из данной окрестности. Если 
предел отношеня 
, х>x0, то он называется производной ф-ции f(x) в т. х0. Обознач. х-х0= 
х, тогда по опр. f’(x)= 
. Пр.:f(x)=x, f(x0+ 
х)=x0+ х, f(x0)=x0, 
= 
. Пусть f(x) определена в нек.правосторон.(лево-) окрестности т. х0 и правый (левый) предел отношения , тогда этот предел наз прав.(левой) производной ф-ции f(x) в т х0.
. Теорема. Пусть ф-ция f(x)определ.в нек.окрест.т.х0, тогда след.условия эквивалентны: 1. f’(x0) 2. f’-(x0)=f’+(x0) – (сущ.прав. и лев. производн.в т.х0 и они равны). Геометр.смысл. f’(x)опред-на в нек. Окр.т.х0 и С. f(x), ур-е прямой:y=y0+k(
)(x-x0)(*). Если 
, кот.получается из ур-я (*) наз касательной графику ф-ции f(x) в т М0. y=y0+k(x-x0).
Билет 2.Понятие дифференцируемости функции в данной точке.
Опр.Пусть ф-ция определена в нек.окре. т. х0, если приращение дан.ф-ции в т.х0 представимо а виде 
где А- const,не зависящая от , а 
-беск.малая ф-ция при 
>0, то данная ф-ция наз. Дифференцируемой в т х0. При этом линейная(относ. ) часть 
-наз.дифференциалом ф-ци f(х)в т х0 и обознач. dy= . Теорема.f(x) диф-ма в т х0 <=> когда в т.х0 производ. Причем А=f ‘(x0). Док-во:f(x) – диф-ма в т.х0, т.е 
при
>0. 
=А+d(xx). 
= 
(А+d(xx))=A=f ‘(x0). Пусть F‘(x0), т.е 
=F’(x0)=Aó 
=A+ 
, где 
при 
-> 0, => f 
. Опр.диф-алом ф-ции (dy= 
в т х0 наз-ся главная, линейная относительно , часть приращения ф-ции в этой точке. dy=f’(х0) 
Пр.: y(x)=x, dx=1* 
.
Билет 3.Свойства производных. Таблица производных.
Теорема.Пусть имеются ф-ции f(x) u g(x), определены в нек.окр. х0, имеют в дан.точке производные. Тогда: 1. (f 
g)’=f’+g’/ 2. (fg)’=f’g+fg’/ 3.если g(x) 
в люб.т.из U(x0), то (
)’= 
. Теорема. Если ф-ция диф-ма в т х0, то она непрерывна в дан. Точке. f 
. Док-во: 
= 
при >0. 
=0
Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |