Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Билет 13.Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

Читайте также:
  1. Алгоритмы и их свойства
  2. Алканы. Строение, свойства, получение и применение
  3. Антигены, свойства. Процессинг антигенов макрофагами и В-лимфоцитами.
  4. Антитела, их структура, свойства, функции. Нормальные показатели иммуноглобулинов сыворотки крови человека.
  5. Атрибуты и свойства материи
  6. Билет № 10 Понятие об ощущении и восприятии. Виды, свойства ощущений и восприятия.
  7. Булевы функции и их свойства
  8. Вещества с преимущественными удушающими свойствами.
  9. Виды и свойства информации

Пусть - интервал, полуинтервал, отрезок, либо вся числовая ось. Опр.пусть f(x) и f(x) определены на промежутке , причем F(x) – диф-ма на Ф-ция F(x) наз первообразной ф-ции f(x),если для х F’(x)=f(x). Пусть F(x)- первообразная для ф-ции f(x) на . Рассмотрим ф-цию F(x)+С, тогда F(x)+С- тоже первообраз. f(x) на . Действительно, (F(x)+C)’=F’(x)+C=f(x). Лемма. Пусть F1(x) b F2(x) –нек.первообразн-е для f(x) на . Тогда такая cont C, что F2(x)=F1(x)+C. Док-во: рассмотр.ф-цию (х)= F2(x)-F1(x) Ф-ция (х)определ-а и диф-ма на промеж-ке . (х)= (F2(x)-F1(x))’=F2’-F1’=f-f=0. (х) 0 на промеж. по следствию из Теор. Лагранжа что (х)=С на промеж. . F2-F1=C F2=F1+C Опр. Неопред.интегралом ф-ции f(x) на пром-ке наз. совокуп. Всех первообразн.ф-ции f(x)на . Фиксир. нек.первообр. f(x).Тогда неопред.интеграл-м наз.совокуп.ф-ций вида F(x)+C, где С – первообр. Const, и обозн. .Ф-ция F(x) подынтегральной ф-цией, а выраж-е f(x)dx – подынтегральным выражением.

Свойства неопределенного интеграла.

1. . (F(x)+C)’=f(x). d =f(x)dx, d(F(x)+C)= (F(x)+C)’dx=f(x)dx

2. .

3.

4.

4’.

Билет 14.Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов.

1. . (F(x)+C)’=f(x). d =f(x)dx, d(F(x)+C)= (F(x)+C)’dx=f(x)dx

2. .

3.

4.

4’.

 

Билет 15.Основные методы интегрирования. 1.непосредственное интегрирование. Пр.

2.метод подстановки.Теор. пусть ф-ция (t) опред-на на промеж-ке t, причем (t) – диф-ма на t и образом ( t)явл.промежуток х и фун-ция (t)явл строго монотонной.

Пусть также на пром-ке х опред-на ф-ция , кот. на имеет первообразную F(x). Тогда –первообр-я для ф-ции f(x). Т.к. на промеж-ке t определена ф-ция f ’( (t)) и F( (t)). Найдем (F( (t)))’=F ‘ ( (t)) (t)=f( (t)) (t) ф-ция F( (t)) явл. первообр. ф-ции f( (t)) (t)) (t)dt=F( (t))+C. Т.к. ( (t)), то

3.интегрирование по частям.Теорема.Пусть ф-ции u(x) и v(x) D на нек.промеж-ке . и . Тогда , причем Док-во: (uv)’=u’v+uv’. d(uv)=(u’v+uv’)dx=vdu+udv.

Билет 17. Определенный интеграл. Необходимое условие существования.

Пусть ф-ция f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобъем отрезок [a,b] на n производных частей a=x<x1<x2<…<xn=b. На каждом из отрезков [x(i-1), xi]произвольным образом выберем т. «кси» i [xi-1,xi]. Обозначим через xi=xi-x(i-1) и «кси»=(кси1, кси 2, … кси n). Разбиение (a=x0<x1<…<xn=b) обозначим через «тау». Составим сумму. S f(тау, кси)=f(кси1 xi+f(кси2) xi+…+f(кси n) xi= составим такую сумму, кот.на.интегральной суммой ф-ции f(x) на [a,b] с параметром кси и тау.Опр1.Пусть d(тау) - , - диаметр разбиения. Если конечн.предел , не зависящей от способа разбиения отрезка a,b и выбора точек из набора кси, то этот предел наз. Определенным интегралом ф-ции f(x) и обоз-ся . Необходимое условие: если f(x) интегрируема на отрезке [a,b],то она ограничена на этом отрезке. НО обратное – неверно. Те такие ф-ции, кот.явл.ограниченными на нек. Отрезке, но не явл.интегрироваными на дан.отрезке.

 

Билет 16. Интегрирование простейших рациональных дробей (3 вида).

Пусть - нек.рац.дробь, где Pm(x) и ) – многочлены нд полем действ.чисел. Если - непрерыв.дробь, т.е. degPm(x) deg ), тогда приводим её к виду =W(x)+ , где W(x) и - мн-ны над R, причем рац.дробь - явл.правой, т.е. deg < deg . Теорема. Пусть Qn(x)=Qn(x-x1)a1(x-x2)a2…(x-xm)am *(x2+p1x+q1)b1(x2+p2x+q2)b2…(x2+pkx+qk)bk и рац.дробь – правая, тогда имеет место след.разложение. +…+ +… после того,как люб.рац.дробь разложили по предыдущ.теореме, получаем след.случай: (1) =a ln(x-x0)+C. (2) dx= = +C= (3) dx= dx=\ x+p=t, dt=dx\= = ln|z|+C= ln|t2+(q-p2)|+C.

Билет 18. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. 1. 2.Каковы бы ни были точки a,b и c: 3.k-нект.число. Тогда 4. dx= 4’Св-во линейности: f(x)+ = . Оценки:1 пусть на [a,b]f (x) 0.тогда 0. 2пусть f(x) g(x) . Тогда dx. 3пусть m-min знач.f(x) на [ab]. m= и M-max знач f(x) на [ab].Тогда m(b-a) M(b-a). 4| . 5Теорема о среднем. Пусть f(x) С[ab].Тогда найдется такая с из [ab], что f(c)*(b-a).

Билет 19. Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Теорема. Пусть f(x)-интегрируема на [ab]. Опр. Ф-ция Ф(х)=. – интегр.с переменным верхним пределом. Теор.пусть ф-ция f(x) С[ab]. Тогда Ф'(x)=f(x). Док-во:фиксир. х из и пусть x+ .Тогда Ф(x+ )= = + =Ф(x+ )+ (x+ )-Ф(х)= . Тк ф-ция f(x) С => по теореме о среднем найдется такая т.с [x, x+ ], что =f(c) => при , а тк ф-ция непрер., то .

Существование первообразной для непрерывной на отрезке функции. Следствие1. Если f(x)=c , то на дан.отрезке дан.ф-ция имеет первообразную.

Билет 20. Формула Ньютона-Лейбница.

Теорема. Пусть f(x) С [ab] ипусть F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Тогда .

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть f(x) С[ab] и пусть (t) С и D [ab], причем: 1) 2) 3) =a, =b.Тогда док-во: по формуле Н-Л , где F(x) – одна из первообразных ф-ции f(x).Рассмотрим ф-цию F(). (F()’=F’()* =f()* F()- первообр.ф-ции f()* => по формуле Н-Л: . Формула интегрирования по частям в определенном интеграле. Теорема.Пусть ф-ции (x) и (x) С,D [ab]. Тогда = |ab . Док-во:d(u )=ud du. v| ab=u(b)

Билет 21. Геометрические приложения определенного интеграла. площадь криволинейной трапеции: пусть f(x)- опеределена на [ab], не отриц-на.f(x) [ab].Тогда S= длина дуги кривой: пусть f(x) D [ab]. L= . объем тела вращения: f(x) [ab]. V= . площадь поверхности вращения: f(x) [ab] и f ‘(x) С[ab]. S=2 .

Билет 22. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода. Опр. Пусть f(x)опр-на на пром-ке[a,+ ] и интегрир-ма в люб.его части [a,R](т.е. ). Тогда если , то он наз.неопред. интег-ом 1го рода и обознач . Опр. Пусть f(x) опр-на на проме-ке [ab) и f(x) не ограничена в люб.точке окр-ти точка b, но >0 ф-ция f(x) интегр-ма на отрезке[a,b- ], тогда если то он наз-ся несобственным интергралом 2го рода. Признак сходимости несобственных интегралов. Теорема. Пусть f(x) и g(x)определены и С [a,+ ], причем 0 g(x) на [a,+ ]. Тогда из сходимости интег-а будет следовать сходимость , а из расходимости будет следовать расходимость .

Билет 23.Функции двух переменных: определение и основные понятия. Опр. Пусть x,y,z – нек.множ-ва(больш). ф-ция 2х переменных наз множ-во всех таких точек (x,y,z), что x X, y , z и кажд.пара (x,y)входит в одну и только одну тройку. В этом случае говорят, что кжд.паре (x,y)поставлена в соответствие нек.число z: z=f(x,y), при этом z-наз-ся зависимой переменной, а x и y- незваис. Мн-ва всех пар (x,y) наз.областью опр-я ф-ции f, а мн-ва всех знач-й z наз. обл-ю значений ф-ции f. Введем на пл-ть Оxy метрику . Пусть М1(x1y1) М2(x2y2). (М1М2)=

Опр. -окрестность. Точки М0(x0y0) наз. Такое мн-во точек пл-ки Oxy, д/кот выпол.нер-во: < : U (M0)={M (M0M)< Опр. Пусть имеется послед-ть точек М1(x1y1), M2(x2y2)…Mn(xn,yn) ({Mn} n 1). Последовательность Mn наз сходящейся к точке М0(x0y0),если >0 найдется такой номер N, зависящий N( n>N будет вып-ся: (M0,Mn)< . Предел функции двух переменных и его свойства. Пусть f(xy)опр-на на нек мн-ве {M} R*R и пусть М0-нек.точка плоскости. Число А наз пределом ф-ци f(xy) в точке М0, если {M}n 1 {M}}, причем Mn M0, и Mn-> n-> M0, то . Опр. Число А наз пределом f(xy) в т М0, если >0 s=S( что M {M} с усл 0<f(M0,M)<s=> условие |f(M)-A|< . С-ва: Теор. Пусть f(xy)и g(xy) опр-ны на мн-ве {M} и пусть сущ-ют пределы: и . Тогда 1. 3. Если В

Билет 28.Производная по направлению. Градиент.

Пусть ф-ия z=f(M) определена в нек-ой окрестности т. M(x,y) и задан единичный вектор n=(cosa,cosb). Для хар-ки скорос-ти изменения ф-ии в т. M(x,y) введем понятие произ-ой по направлению n. Для этого проведем через т. M(x,y) прямую так, чтобы одно из направлений на ней совпадало с направл-ем вектора n. Возьмем на этой прямой т.М1(x+Dx,y+Dy).

у М1 n     М   0 х х+∆х х
α
Обозначим длину L=|MM1|= .

Опр. Производная f(xy) по направлению n в точке М наз.след предел: = f‘x(x,y)cosa+ f‘y(x,y)cosb= . Пусть f(xy) диф-ма в т. М. Тогда = f‘x(x,y)Dx+f‘y(x,y)Dy + a(Dx,Dy)Dx+b(Dx,Dy)Dy, где Dx = DLcosa, Dy = DLcosb

Разделим обе части нерав-ва на DL. Dz/DL=f‘x(x,y)cosa+f‘y(x,y)cosb+ a(Dx,Dy) +b(Dx,Dy) . Перейдем в последнем равенстве к пределу при DL®0.

Градиент. Опр.: Град-том ф-ии z=f(M) в т. M(x,y) наз-ся вектор, координаты кот-го равны соответс-им частным произ-водным в т. M(x,y). gradz=(¶z/¶x,¶z/¶y). Используя опр-ие grad м. получить след. формулу для производной по напр-ию.¶z/¶L=f‘x(x,y)cosa+f‘y(x,y)cosb, L=(cosa,cosb), ¶z/¶L= grad z · L=|grad z| · |L| cosa, ¶z/¶L= |grad z |·cosa Градиент ф-ии z=f (x, y) в т. M (x,y) хар-ет направление и величину max-ой скорости изменения и возрастания ф-ии в данной точке.

 

 

Билет 30.Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Пусть ф-ция x=f(xy) определена на нек множевстве {М}. Опр.: т.М0(x0,y0) наз-ся точкой лок.max(min), если найдется такая окрестность U(M0),что для люб.т М значение ф-ции f(М) f(М0), (f(М) f(М0)). Т(необ-ое условие экстремума): Если ф-ия z=f(x,y) в точке М0(x0,y0) имеет экст-ремум, то обе частные производные в этой точке равны нулю. Опр.: Точки, в к-ых обе частные производные равны нулю, наз-ся стационарными точками.

Т(достаточное условие экстремума): Пусть ф-ция z=f(xy) определена в нек.окр. в т М0 и пусть в дан.точке частн.произв-е 1го порядка=0. Пусть в дан окр-ти непрерывные частные производные 2го порядка. Рассмотрим величину

35.Дифференциальные уравнения: основные понятия и определения.

Опр.: Ур-ие вида f(x,y,y’)=0 (1) наз-ся диф-ым ур-ем 1-го порядка, где x – перем-я, y–иско-мая ф-я, y’ – ее производная. Опр.:Поряд-ком диф-го ур-ия наз-ся порядок старшей производной, входящей в него. Если ур-ие (1) можно решить относительно y’, то оно примет вид: y’=f (x,y) (2), к-ое наз-ют диф-ым ур-ем, разрешенным относитель-но произ-ой. Опр. Решение ур-я (2) наз всякая ф-ция y= ,кот.при подстановке в ур-е(2) обращает его в тождество, те ’(x) f(x, ) Опр. График решения диф-ого ур-я (2) наз интегральн.кривой. Опр. Диф.ур-е y’=f(xy)с задан. начальн. условиями. наз. Задачей Коши.

С геометр-ой точки зрения задача Коши озна-чает, что из множества интегральных кривых области G мы должны выбрать одну, проходящую через данную точку (х00). Теорема. Пусть ф-ция f(xy) непрер в нек. обл. G и такая константа L, что для люб пары точек (x,y1), (x,y2) G следует, что |f(x,y1)-f(x,y2)| *|y1-y2| - ур-е Лепшиц.

Общее и частное решение диф-го ур-ия. Опр.:Общим решением ур-ия (2) в области G наз-ся ф-ия y=j(x,C), зависящая от неизвестной x и произвольной постоянной С, такая, что С=С0 –фция j(x,C) явл-ся решением ур-я (2) и (x0y0) С=С1, такая что U(x,C0) яв-ся решением задачи Коши. Опр.: Частным решением ур-я (2) наз-ся ф-ия y=j(x,C0), полученная из общего решения ур-я(1) заменой постоянной с определенным значением. С гео-метр-ой точки зрения частному решению соответствует одна интегральная кривая, а общему – семейство интегральных кри-вых.




Дата добавления: 2015-04-11; просмотров: 85 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав

1 | 2 | 3 | 4 | <== 5 ==> | 6 | 7 | 8 | 9 |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2024 год. (0.02 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав