Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Простые и взвешенные скользящие средние и их применение

При исследовании социально-экономических процессов встречаются такие ряды динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и, в данном случае, можно говорить только об общей тенденции развития явления (к росту или снижению).

Выявление основной тенденции развития (тренда) называется в статистике выравниваем временного ряда, а методы выявления основной тенденции – методами выравнивания.

Рассмотрим наиболее простой прием обнаружения общей тенденции развития явления – укрупнение интервала динамического ряда. При этом первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, имеются данные об объеме прибыли, полученной предприятием (по месяцам), млн. руб.:

Объем прибыли (по месяцам), млн. руб.

Различные направления изменения уровней ряда по отдельным месяцам затрудняют выводы об основной тенденции исследуемого показателя. Если соответствующие месячные уровни объединить в квартальные и вычислить среднемесячный объем прибыли, то есть укрупнить интервалы, то решение задачи упрощается:

Таблица 1

Объем прибыли (по кварталам), млн. руб.

После укрупнения интервалов основная тенденция роста объема прибыли прослеживается в I, II и III кварталах. В IV квартале размер анализируемого показателя уменьшился как в целом за квартал, так и в среднем за месяц.

Наиболее простыми методами прогнозирования по одномерным временным рядам, являются:

- метод среднего абсолютного прироста;

- метод среднего темпа роста.

Прогнозирование методом среднего абсолютного прироста предполагает, что общая тенденция развития изучаемого социально-экономического явления наилучшим об разом аппроксимируется линейной формой аналитического выражения.

Для прогнозирования используется модель вида:

По данным об объеме импорта коммерческой продукции за период январь-август 2014 г. построить прогноз методом среднего абсолютного прироста на сентябрь – ноябрь 2014 г.:

Расчетная таблица для определения прогнозных значений методом среднего абсолютного прироста

Месяц	Объем импорта, млн. руб.,	Абсолютные цепные приросты
январь	201,8	-
февраль	202,4	0,6
март	203,1	0,7
апрель	204,0	0,9
май	205,2	1,2
июнь	206,4	1,2
июль	207,6	1,2
август	208,8	1,2
Итого	1639,3	7,0

Средний абсолютный прирост составил:

– конечный уровень динамического ряда;

– начальный уровень динамического ряда.

Прогнозные оценки данного показателя на сентябрь-ноябрь 2014 г. составят:

Прогнозирование методом среднего темпа роста осуществляется в случае если темпы роста цепные, рассчитанные по данным исходного временного ряда за исследуемый период времени, имеют приблизительно одинаковое цифровое значение, а тенденция развития явления подчиняется геометрической прогрессии и может быть описана показательной (экспоненциальной) кривой. Модель прогноза методом среднего темпа роста имеет вид:

средний темп роста, который определяется по формуле:

Сумма теоретических значений , полученных в результате выравнивания по среднему темпу роста, должна совпадать с суммой эмпирических значений исходного временного ряда :

Несовпадение данных сумм может быть вызвано следующими причинами:

1. Исходному временному ряду свойственна другая закономерность, а не экспоненциальная;

2. Существенное и значимое влияние на изучаемое социально-экономическое явление оказывают случайные факторы.

Пример. По следующим данным об объеме импорта по торговому предприятию в январе-мае 2014 г. построить прогноз на июнь-июль 2014 г.

Расчетная таблица для определения прогнозных значений
методом среднего темпа роста

Средний темп роста составил:

Прогноз объема импорта составил:

Рассмотренные методы прогнозирования являются простейшими, и поэтому прогнозы, полученные на их основе, являются приближенными и не всегда надежны при увеличении периода упреждения. Как правило, эти методы используются только при краткосрочном прогнозировании.

Выявление основной тенденции может быть осуществлено методом скользящей средней. Метод состоит в вычислении среднего уровня из определенного числа (обычно нечетного) первых по счету уровней ряда, затем из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т.д. Таким образом, средняя как бы «скользит» по ряду динамики, передвигаясь на один срок:

Исходные данные и результаты расчета скользящей средней

Год	Объем выручки рекламного агентства, млн. руб.	Скользящая средняя
трехчленная	пятичленная
	15,4	-	-
	14,0	15,7	-
	17,6	15,7	14,7
	15,4	14, 6	15,1
	10,9	14,6	15,3
	17,5	14,5	15,5
	15,0	17,0	15,2
	18,5	15,9	16,0
	14,2	15,9	-
	14,9	-	-

Сглаженный ряд по трехчленной скользящей средней короче фактического на одно значение в начале и в конце, по пятичленной – на два значения в начале и в конце ряда, то есть часть информации теряется. Однако сглаженный ряд меньше, чем фактический, подвержен колебаниям случайных причин и четче, в виде некоторой линии на графике выражает основную тенденцию роста за изучаемый период, связанную с действием долговременно существующих причин и условий развития (рис. 1):

Рис. 1. Графическое изображение фактического и сглаженных

динамических рядов

При построении взвешенной скользящей средней на каждом активном участке значение центрального уровня заменяется на расчетное, определяемое по формуле средней арифметической взвешенной:

– весовые коэффициенты.

Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами (), а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка. При простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), а при сглаживании по взвешенной скользящей средней используются полиномы более высоких порядков, чаще всего – 2-го или 3-его порядка. Поэтому метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней.

Алгоритм выравнивания: для каждого активного участка подбирается полином вида:

+ ;

Коэффициенты которого оцениваются с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом начало отсчета (начало координат) переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания l =7 рассматриваются моменты времени t: –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3.

Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра подобранного полинома. Весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, будут одинаковыми для каждого активного участка.

Например, длина интервала сглаживания l =5, а локальное поведение сглаженного временного ряда внутри каждого активного участка описывается с помощью полинома второго порядка. Перенесем начало координат в середину временного интервала, т.е. в моменты времени: t = –2, –1, 0, 1, 2. Неизвестные коэффициенты полинома второй степени оцениваются с помощью МНК. Учитывая, что для нечетных получаем систему:

Для определения необходимо найти и . Так как интервал сглаживания равен 5, то =34. Система нормальных уравнений, определяющая и , имеет вид:

Решение этой системы относительно представлено:

Аналогичным путем получают выражения и для других интервалов сглаживания по параболе второго и третьего порядка:

Длина интервала сглаживания	Весовые коэффициенты

Пример. Рассчитать взвешенную скользящую среднюю для временного ряда EURO c 25 июля 2014 г. по 7 августа 2014 г. Длина интервала l =5, сглаживание на каждом участке – по полиному 2-го порядка:

Сглаживание временного ряда курса EURO с помощью взвешенной скользящей средней

= 47,513

= 47,832

Рассмотренные методы позволяют определить лишь общую тенденцию развития явления, более или менее освобожденную от случайных и волнообразных колебаний. Однако получить обобщенную статистическую модель тренда посредством этих методов нельзя.