Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Часть В.

1.Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов. Может ли ряд , расходящийся в точке , сходиться при ?

Если степенной ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… сходится при некотором х=х₀, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |х|<|x₀|; Если ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… расходится при некотором х=х₁, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |х|>|x₁|

Данный ряд, расходящийся в точке -2 не может сходиться при х=3, т.к. |-2|<|3| следовательно согласно теореме Абеля ряд в точке х = 3 сходится, и притом абсолютно.

2.Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите сумму ряда при .

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда: пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R,R) в степенной ряд: f(x) = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…(1). Рассмотрим степенной ряд: a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда:

ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1).

на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f^,(x), которая разлагается в степенной ряд (2).

∑nxⁿ=x∑nx^n-1=x∑(xⁿ)’=x/(1-x)²

∑xⁿ=x/(1-x) |x|<1 – сходится

∑nx^n-1=(x/1-x)’=(1-x+x)/1/(1-x)²

3.Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция разлагается в ряд Маклорена на любом интервале .

Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х (-R, R) <M, n=0,1,2,…, то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x). Имеем: (sinx)’=cosx; (sinx)’’=-sinx, (sinx)’’’=-cosx, (sinx)⁽⁴⁾=sinx. Отсюда видно, что последовательность производных функции sinx периодична с периодом 4. При х=0 получаем sin0=0, sin’(0)=1, sin’’(0)=0, sin’’’(0)=-1 В общем случае все производные четного порядка равны 0, а нечетного sin^(2т+1)(0)=(-1)ⁿОтсюда ряд Маклорена для sinx:Sinx=x-(x³/3!)+(x⁵/5!)-…+(1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)+…

4. Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.

Достаточное условие разложения функции в ряд Маклорена: пусть функция f(x) определена и бесконечно дифференцируема на интервале (-R,R). Если существует такая постоянная: M=const для любого х (-R, R) <M, n=0,1,2,…, то в этом интервале ряд Маклорена сводится к функции f(x). Пусть f(x)=e^x. В любом интервале (-r;r) имеем |f⁽ⁿ⁾(x)|= e^x<e^r. В силу признака Даламбера отсюда следует, что функция е^ч равна сумме своего ряда Маклорена при хϵ(-r;r), а значит, и для любого х ввиду произвольности r. Поскольку f⁽ⁿ⁾(0)=e⁰=1 при любом n, получаем разложение e^x=1+x+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)+… справедливо для всех х.

5. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите разложение функции в ряд Маклорена, исходя из разложения функции .

Теорема о почленном дифференцировании степенного ряда: пусть функция f(x) разлагается на интервале (-R,R) в степенной ряд: f(x) = a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+…(1). Рассмотрим степенной ряд: a₁+2a₂x+…+na_nx^n-1+…(2), полученный почленным дифференцированием ряда (1). Тогда:

ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1).

на всем интервале (-R,R) функция f(x) имеет производную f^,(x), которая разлагается в степенной ряд (2)

ряд для cosx получается почленным дифференцированием ряда Sinx=x-(x³/3!)+(x⁵/5!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)+…

(Sinx)’=x’-(x³/3!)’+(x⁵/5!)’-…+((-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!))’+…

Cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ/(2n!)

11.Найти значение а, при котором функция является решением дифференциального уравнения

12. Проверить, что функция

Найдем первую и вторую производные заданной функции:

Подставим полученные значения в уравнение:

- верно

13.Сформулируйте теорему существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка Проверьте выполнение условий этой теоремы для задачи ,

Если в некоторой окрестности точки (х₀;у₀) функция f(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’_y, то существует такая окрестность точки (х₀;у₀), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x₀)=y₀имеет решение, притом единственное.

Подставим в исходное:

Запишем общее решение:

Подставим значения условий для задачи Коши

Ответ: с=3 и у= -3х.

14. Какое решение дифференциального уравнения называется особым? Найдите особое решение уравнения .

Особое решение дифференциального уравнения – это некоторая интегральная прямая уравнения, состоящая из особых точек.

Практика:

Решение уравнения, но есть особые решения при y(x)=0.

15.Дайте определение и приведите пример дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Приведите уравнение к виду уравнения с разделенными переменными. Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные функции.

Проверим на однородность функцию:

=> однородны.

Уравнение с разделяющимися переменными.