Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дайте определение уравнения Бернулли. Приведите пример.

Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yⁿ (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли. Пример: y’-y=e^6x/y². Решение: n=-2. Выполним замену z=y³, получим z’=3y²y’. Далее решаем полученное уравнение: z’-3z=3e^6x

18.Дайте определение и приведите пример линейного дифференциального уравнения второго порядка. Докажите, что если и – решения линейного неоднородного уравнения, то разность является решением соответствующего линейного однородного уравнения

Линейным уравнением второго порядка называется уравнение y”+p(x)y’+q(x)y=b(x). Пример y”+5y’+6y=4sin(x).

Т.к. Y1(X) и Y2(X) явл решением, то: Y’+p(X)Y=G(X) - верное по усл

Y1’(X)+P(X)Y1(X)=G(X)-верное по усл

Y2’+P(X)Y2(X)=G(x)- верное по усл

Y1’(X)-Y2’(X)+P(X)(Y1(X)-Y2(X)))=0 –это и есть решение.

19.Дайте определения системы линейно зависимых и системы линейно независимых функций. Установить линейную независимость системы функций , , .

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x), определённые на отрезке [a;b], называются линейно зависимыми на [a;b], если существуют постоянные α₁, α₂,..., α _n, не равные нулю одновременно и такие, что α₁y₁(x) + α₂y₂(x) +... + α _n y _n (x) = 0 для всех x из отрезка [a;b].

В противном случае функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) называются линейно независимыми.

Линейную зависимость и линейную независимость функций определяют также на (a;b), (a;b], [a;b), на бесконечных промежутках.

Справедливо следующее утверждение.

Функции y₁(x), y₂(x),..., y_n(x) линейно зависимы на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной комбинацией других на этом отрезке.

20.Установить линейную зависимость системы функций , , . Пусть функции линейно независимы, тогда составим определитель Вронского:

Данные функции линейно зависимы так первую функцию можно представить в виде линейной комбинации двух других 2= 1*(x+1)+(-1)+(x-1), соответственно можно подобрать такие α1,α2,α3 при которых верно равенство: α1*y1+α2*y2+α3*y3=0

1*(x+1)+(-1)*(x-1)+(-1)*2=0

21.Докажите, что сумма частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка и общего решения соответствующего однородного уравнения является общим решением линейного неоднородного уравнения второго порядка. Общее решение неоднородного уравнения L(y)=f(x)есть сумма частного решения ‾у(х) этого уравнения и общего решения соответствующего ему однородного уравнения L(y)=0. Доказательство: Покажем сначала, что сумма у(х) частного решения уравнения неоднородного уравнения ‾у(х)и произвольного решения у₀(х) однородного уравнения также является решением неоднородного уравнения. Действительно, в силу леммы имеем L(‾y+y₀)=L(‾y)+L(y₀)=f(x)+0=f(x), что и требовалось доказать. Теперь нам осталось доказать, что всякое решение у(х) неоднородного уравнения есть сумма ‾у(х) и некоторого частного решения у₀(х) уравнения L(y)=f(x). Имеем L(у-‾y)=L(y)-L(‾y)=f(x)-f(x)=0.Следовательно, у₀(х)=у(х)-‾у(х) – решение уравнения L(y)=0, значит, у(х)=у₀(х)+‾у(х), что и завершает доказательство.

Возьмем ур-е (1): . Решением ур-я(1) будет сумма частного и общего решения однородного ур-я .

Док-во. Тогда имеем *: . Возьмем любое решение ур-я (1)**:

Вычтем их ** уравнение *, получим: ЧТД

22.Докажите, что линейная комбинация решений линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка также является решением этого уравнения. Пусть у₁(х) и у₂(х),….,у_к(х) – произвольные решения линейного однородного дифференциального уравнения и С₁, С₂,….,С_к – произвольные постоянные, тогда линейная комбинация С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+….+С_ку_к(х) также является решением этого уравнения. Действительно, на основании L(C₁y₁+C₂y₂)= C₁L(y₁)+C₂L(y₂), имеем: L(C₁y₁+C₂y₂+….+C_ky_k)=C₁L(y₁)+C₂L(y₂)+…+C_kL(y_k)=0 что и требовалось доказать.

23.Докажите, что общим решением линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка является линейная комбинация фундаментальной системы решений этого уравнения.

Пусть у₁(х),……, у_п(х) – фундаментальный набор решений уравнения L(y)=0, тогда общее решение этого уравнения задается формулой: y=C₁y₁+…+C_ny_n. Доказательство. То, что функция у(х), определяемая формулой

С₁у₁(х₀)+С₂у₂(х₀)+….+С_ку_к(х₀)=0

С₁у’₁(х₀)+С₂у’₂(х₀)+…+ С_kу’_k(х₀)=0

………………………………………………

С₁у₁^(k-1)(х₀)+С₂у₂^(k-1)(х₀)+…..+ С_kу_k^(k-1)(х₀)=-0

Является решением уравнения L(y)=0, следует из С₁у₁(х)+С₂у₂(х)+….+С_ку_к(х). Покажем теперь что любое решение ѱ (х) уравнения L(y)=0 представимо в виде линейной комбинации функций у₁,…,у_п. Зафиксируем некоторую точку х₀. Введем следующие обозначения ѱ(х₀)=у₀, ѱ’(x₀)=y’₀, …., ѱ^(n-1)(x₀)=y₀^(n-1) рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений:

С₁у₁(х₀)+С₂у₂(х₀)+….+С_nу_n(х₀)=y₀

С₁у’₁(х₀)+С₂у’₂(х₀)+…+ С_nу’_n(х₀)=y₀

………………………………………………

С₁у₁^(n-1)(х₀)+С₂у₂^(n-1)(х₀)+…..+ С_nу_n^(n-1)(х₀)=y₀^(n-1)

Определителем этой системы является определитель Вронского для функции у₁,…у_п в точке х₀. Ввиду линейной зависимости этих функций данный определитель не равен нулю. Следовательно, у системы

С₁у₁(х₀)+С₂у₂(х₀)+….+С_nу_n(х₀)=y₀(1.1)

С₁у’₁(х₀)+С₂у’₂(х₀)+…+ С_nу’_n(х₀)=y₀

………………………………………………

С₁у₁^(n-1)(х₀)+С₂у₂^(n-1)(х₀)+…..+ С_nу_n^(n-1)(х₀)=y₀^(n-1)

Существует решение (‾С₁, ‾С₂,….,‾С_п). Тогда функция у(х)=‾С₁у₁(х)+‾С₂у₂(х)+…+‾С_пу_п(х), как это вытекает из (1.1), удовлетворяет тем же начальным условиям. В силу единственности решения задачи Коши имеем ѱ(х)=у(х), т.е. ѱ(х) есть линейная комбинация функции у₁,…у_п. теорема доказана.

24.Записать общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами , если соответствующее характеристическое уравнение имеет корень λ второй кратности.

25.Записать общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами , если корни характеристического уравнения λ₁ , λ₂ вещественные и различные.

26.Записать общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами в вещественной форме, если корни характеристического уравнения λ₁, λ₂ комплексные.

27. Написать частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения (числовых значений коэффициентов не находить):

Характеристическое уравнение для имеет вид:

α=0, n=2

α=0 является корнем характеристического уравнения, значит

.

28. Написать частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения (числовых значений коэффициентов не находить):

Характеристическое уравнение для имеет вид:

λ² - 2λ – 8=0

λ₁ = 4, λ₂ = -2 - по теореме, обратной теореме Виета

α=4, n=1

α=4 является корнем характеристического уравнения, значит

29.Написать частное решение с неопределёнными коэффициентами для уравнения (числовых значений коэффициентов не находить):

Характеристическое уравнение для имеет вид:

λ² - 8λ – 20=0

D = 64 – 4*20 = -16 = 16i²

λ₁ = 4 + 2i

λ₂ = 4 – 2i

α=4, β=2, m₁=m₂=0

α + iβ = 4+2i является корнем характеристического уравнения, а m = max(m₁, m₂) = 0, значит