Читайте также:
|
|
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b), то на этом интервале найдется по крайней мере одна точка e a < e < b, такая, что . Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.
Отношение равно угловому коэффициенту секущей АВ. Рис1 Если функция f(x) удовлетворяет условиям теоремы, то на интервале (а, b) существует точка e такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна секущей, соединяющей точки А и В. Таких точек может быть и несколько, но одна существует точно. Доказательство. Рассмотрим некоторую вспомогательную функцию F(x) = f(x) – yсек АВ Уравнение секущей АВ можно записать в виде:
Функция F(x) удовлетворяет теореме Ролля. Действительно, она непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (а, b). По теореме Ролля существует хотя бы одна точка e, a < e < b, такая что F¢(e) = 0. Т.к. , то , следовательно Определение. Выражение называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений. В дальнейшем эта формула будет очень часто применяться для доказательства самых разных теорем.Иногда формулу Лагранжа записывают в несколько другом виде: ,где 0 < q < 1, Dx = b – a, Dy = f(b) – f(a).
Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 22 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |