Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ставлення задачі стійкості по О.М. Ляпунову

Строге визначення стійкості вперше в 1892 р. дав росій­ський вчений О.М. Ляпунов, воно задовольняв багатьом техніч­ним задачам і його використовують як головне. О.М. Ляпунов стійкість визначає при слідуючих умовах:

1. Збурення накладаються тільки на початкові умови. При цьому збурений рух забезпечується тими ж силами (енергією), що і незбурений рух.

2. Стійкість розглядається на нескінченно великому відріз­ку часу.

3. Допускають, що збурення малі по величині.

Перераховані особливості визначення стійкості руху не зни­жують його вартості, підхід О.М. Ляпунова залишається ефектив­ним в використанні, його ідея зводиться до наступного. Припус­тимо, що рух системи автоматичного керування описується дифе­ренціальним рівнянням, яке можна записати в вигляді:

(5.1)

де Х_вих і - дійсні змінні, які визначають стан системи;

Х_вих і - відомі функції змінних Х_вихі, Х_вих2,.., Х_вихn і часу t, які задовольняють умовам існування і єдності рішення. Нехай по­чатковий стан системи при t=t₀ одночасно визначається по­чатковими значеннями змінних Х_вихі, Х_вих2,.., Х_вихn0. Ві­домо, що кожній сукупності вихідних значень відповідає тільки одне рішення рівняння (5.1) для всіх t, більших t₀.

(5.2)

Рішення (5.2) описує рух системи при певних початкових даних. Так як в якості незбуреного руху системи можна взяти любий, ви­беремо такий, який описується заданими функціями часу

(5.3)

які є частковим рішенням диференціальних рівнянь (5.1). В зв’язку з цим можна записати похідні:

(5.4)

які задовольняють початковим умовам при t=t₀, тобто

(5.5)

Дамо початковим значенням змінних Х_вихі, Х_вих2,.., Х_вихn, не великі по модулю прирости ε_1, ε₂,..., ε_n. В даному випадку при t=t₀

(5.6)

При нових початкових умовах одержимо збурений рух системи. Так як в загальному випадку вихідні величини співпадати не будуть, введемо нові змінні.

(5.7)

які характеризують різницю координат системи в збуреному і незбуреному русі і називають відхиленнями або варіаціями Х_вихі. Нові змінні ΔХ_вихі в початковому стані при t=t₀ можуть набувати будь-яких початкових значень, які називають збуреннями.

(5.8)

Допустимо, що із них хоч би одне не дорівнює нулю.

О.М. Ляпунов дав наступне визначення стійкості. Незбурений рух буде стійким відносно змінних ΔХ_вихі, якщо при до­вільно заданому (навіть дуже малому) позитивному числі ε мож­на вибрати друге позитивне число δ(ε), що при любих збуреннях ΔХ_вихі0, задовольняє умовам

(5.9)

і при любому t³t₀ буде виконуватись нерівність

(5.10)

в протилежному випадку рух нестійкий.

Із визначення витікає, що при невеликих початкових збу­реннях збурений рух буде мало відрізнятись від незбуреного руху для стійких процесів. Нестійкий незбурений рух характери­зується тим, що збурений рух відхиляється від нього, як би не були малі початкові збурення. Стійкий незбурений рух нази­вають асимптотично стійким, якщо любий збурюючий рух при достатньо прямих початкових відхиленнях прагне до незбуреного руху, тобто

(5.11)