Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Перший метод Ляпунова

Дослідження стійкості руху проводять шляхом аналізу ди­ференціальних рівнянь збуреного руху, які мають наступний виг­ляд:

(5.12)

де а_0n - коефіцієнти, які в загальному випадку є функці­ями часу, однак можуть бути і постійними;

R_i(ΔХ_вих1, ΔХ_вих2,…, ΔХ_вихn) - сукупність членів, які залежать від від­хилень Х_вихі в степені вище першої.

Нехтуючи R_i(ΔХ_вих1, ΔХ_вих2,…, ΔХ_вихn) при достатньо малих відхиленнях ΔХ_вихі, отримаємо лінеаризовані рівняння

(5.13)

які називають рівняннями першого наближення.

Зважаючи на те, що наші знання реальних об'єктів автомати­зації часто дозволяють надійно визначити тільки перші лінійні члени, в багатьох випадках стійкість руху досліджують по рів­нянням першого наближення. Ці рівняння простіше отримувати, од­нак інколи вони можуть давати зовсім невірні висновки про стій­кість руху. Виникає питання, які умови необхідно виконати для одержання вірної відповіді про стійкість руху, визначеного по рівнянням першого наближення. Цю задачу вперше поставив і ви­рішив О.М. Ляпунов.

Система рівнянь (5.13) має характеристичне рівняння, яке в матричній формі можна записати:

(5.14)

Характеристичне рівняння має n коренів, які в загальному випадку дорівнюють:

(5.15)

де α_і - дійсна частина;

ω_і - уявна частина.

Для дослідження стійкості систем по лінеаризованим рівнян­ням О.М. Ляпунов запропонував наступні теореми.

Теорема 1. Якщо дійсні частини всіх коренів Р_і характерис­тичного рівняння першого наближення від’ємні, то незбурений рух асимптотичне стійкий.

Теорема 2. Якщо серед коренів Р_і характеристичного рів­няння першого наближення є хоч би один корінь з додатною дійсною частиною, то незбурений рух нестійкий.

При наявності одного або кількох нульових коренів (дійс­ні частини останніх коренів від'ємні) стійкість або нестійкість руху не може бути оцінена по рівнянням першого наближення з огляду на залежність її від нелінійної функції R_i(ΔХ_вих1, ΔХ_вих2,…, ΔХ_вихn). В цьому випадку необхідно розглянути диференціальне рівняння збуреного руху системи в початковому вигляді (5.І2).