Читайте также:
|
Рівняння в відхиленнях Хвихі для лінійних систем звичайно подібні початковим диференціальним рівнянням системи або навіть дещо простіші. Нелінійні системи, як правило, мають форму рівняння в відхиленнях значно складнішу, ніж у початкових рівнянь, що ускладнює дослідження нелінійних систем. Стійкість в малому, великому і цілому отримує конкретизацію. Якщо при заданому додатковому ε існує друге позитивне число δ(ε) таке, що при початкових відхиленнях Хвихі0, задовольняючих нерівність 
, любі значення ΔХвихі (t) будуть задовольняти співвідношення 
, то рівновага стійка в малому. Якщо, крім того, вся сукупність можливих початкових відхилень підкоряється умовам 
, то рівновага стійка в великому. Якщо , при будь-якому як завгодно великому δ маємо стійкість в цілому. Якщо ці умови виконуються при любому як завгодно малому ε, рівновага буде стійка асимптотично.
Стійкість нелінійних систем в великому і цілому можна визначити з допомогою другого (прямого) методу О.М. Ляпунова. Цей метод заснований на побудові спеціальних функцій Ляпунова, які бувають знакосталими і знаковизначеними. Знакосталі - це такі функції, які при всіх значеннях аргументів набувають значення тільки одного знаку або нульові. Законовизначені є знакосталі функції, які набувають нульового значення тільки на початку координат (при умові коли дорівнюють нулю всі аргументи). В основу другого методу О.М.Ляпунова положено дві наступні теореми.
Теорема 1. Якщо існує знаковизначена функція V (ΔХвих1, ΔХвих2 ,..., ΔХвихn) похідна 
якої в часі в відповідності з диференціальними рівняннями руху або являє собою знакосталу функцію протилежного з знаки або тотожно дорівнює нулю, то незбурений рух стійкий.
Теорема 2. Якщо, крім того, функція W знаковизначена, то незбурений рух стійкий асимптотичнj.
Задача пошуку функції О.М.Ляпунова достатньо складна і поки що практично нерозв’язна. При пошуках функції О.М.Ляпунова їй, як правило, приписують певний конкретний вигляд. Звичайно виходять з того, що параметри функції можна було порівняно просто вираховувати по вихідним рівнянням руху системи. Для лінійних систем функція О.М.Ляпунова являє собою квадратичні форми координат. Функцію такого вигляду інколи вдається знайти і для близьких до лінійних нелінійних систем. Розширює можливості методу форма функції Ляпунова, запропонована О.І. Лур’є і В.І. Постніковим для нелінійних систем, які мають одну без інерційну нелінійну ланку з статичною характеристикою типу /О, К/. Для інших типів нелінійностей загальних підходів побудови функції О.М.Ляпунова, мабуть, не існує.
Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 9 | Нарушение авторских прав
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | <== 81 ==> | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 |