Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Другий метод Ляпунова

Рівняння в відхиленнях Х_вихі для лінійних систем зви­чайно подібні початковим диференціальним рівнянням системи або навіть дещо простіші. Нелінійні системи, як правило, мають форму рівняння в відхиленнях значно складнішу, ніж у початкових рів­нянь, що ускладнює дослідження нелінійних систем. Стійкість в малому, великому і цілому отримує конкретизацію. Якщо при зада­ному додатковому ε існує друге позитивне число δ(ε) таке, що при початкових відхиленнях Х_вихі0, задовольняючих нерів­ність , любі значення ΔХ_вихі (t) будуть задовольняти співвідношення , то рівновага стійка в малому. Якщо, крім того, вся сукупність можливих початкових відхилень підкоряється умовам , то рівновага стійка в великому. Якщо , при будь-якому як завгодно великому δ маємо стійкість в цілому. Якщо ці умови виконуються при любому як завгодно малому ε, рівновага буде стійка асимптотично.

Стійкість нелінійних систем в великому і цілому можна виз­начити з допомогою другого (прямого) методу О.М. Ляпунова. Цей метод заснований на побудові спеціальних функцій Ляпунова, які бувають знакосталими і знаковизначеними. Знакосталі - це такі функції, які при всіх значеннях аргументів набувають значення тільки одного знаку або нульові. Законовизначені є знакосталі функції, які набувають нульового значення тільки на початку ко­ординат (при умові коли дорівнюють нулю всі аргументи). В ос­нову другого методу О.М.Ляпунова положено дві наступні тео­реми.

Теорема 1. Якщо існує знаковизначена функція V (ΔХ_вих1, ΔХ_вих2 ,..., ΔХ_вихn) похідна якої в часі в відповідності з диференціальними рівняннями руху або являє со­бою знакосталу функцію протилежного з знаки або тотожно дорівнює нулю, то незбурений рух стійкий.

Теорема 2. Якщо, крім того, функція W знаковизначена, то незбурений рух стійкий асимптотичнj.

Задача пошуку функції О.М.Ляпунова достатньо складна і по­ки що практично нерозв’язна. При пошуках функції О.М.Ляпунова їй, як правило, приписують певний конкретний вигляд. Звичайно виходять з того, що параметри функції можна було порівняно прос­то вираховувати по вихідним рівнянням руху системи. Для ліній­них систем функція О.М.Ляпунова являє собою квадратичні форми координат. Функцію такого вигляду інколи вдається знайти і для близьких до лінійних нелінійних систем. Розширює можливості методу форма функції Ляпунова, запропонована О.І. Лур’є і В.І. Постніковим для нелінійних систем, які мають одну без інерційну нелінійну ланку з статичною характеристикою типу /О, К/. Для інших типів нелінійностей загальних підходів побудови функції О.М.Ляпунова, мабуть, не існує.