Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Умови стійкості лінійних /лінеаризованих/ систем автоматичного регулювання

На основі визначення стійкості О.М.Ляпунова можна знайти умови стійкості лінійних і лінеаризованих систем автоматичного керування.

Диференціальне рівняння лінійної системи має вигляд:

(5.16)

де а₀, а₁,..., а_n i в₀, в₁,...,в_m - постійні коефіцієнти;

оператор диференціювання;

X_вих(t) - вихідна величина;

X_вх(t) - керуюче діяння.

Рішення рівняння (5.16) являє собою зміну регульованої ве­личини X_вих(t) при довільному зовнішньому діянні X_вх(t)

(5.17)

Перший доданок X_{вих в} (t) являє собою вимушену складову, яка має характер, аналогічний правій частині рівняння (5.16). Її отримують як часткове рішення неоднорідного диференціально­го рівняння (5.16) з правою частиною

(5.18)

Другий доданок X_{вих с} (t) - перехідна (вільна) складова. Її знаходять загальним рішенням однорідного диференціального рів­няння (5.16) без правої частини

(5.19)

В теорії автоматичного керування за незбурений рух системи приймають вимушену складову перехідного процесу X_{вих с} (t). Збуреним рухом тоді буде люба зміна регульованої величини X_вих(t).

Відхилення або варіацію являє собою вільна скла­дова, яка із (5.17) буде дорівнювати:

(5.20)

По О.М.Ляпунову збуреннями будуть початкові значення X_{вих с} (t) при t=t₀ які виникли під дією додатко­вих зовнішніх сил, тобто X_{вих с о}. Збурений рух буде описуватись диференціальними рівняннями першого наближення. В даному випадку - це рівняння (5.19).

По О.М. Ляпунову система буде асимптотично стійкою, якщо вільна складова буде прагнути до нуля X_{вих с} (t)®0 при t®¥. Для пошуку цієї складової необхідно розв’язати диференціальне рівняння (5.19)

(5.21)

Розв’язок рівняння (5.21) буде мати вигляд X_{вих с} (t)= . Продиференціюємо його n разів, підставимо в (5.21) і після скорочення на отримаємо

(5.22)

Алгебраїчне рівняння (5.22) називають характеристичним. Його корені Р_1, Р₂,...,Р_n визначають характер перехідного процесу в системі. По вигляду ліва частина (5.22) співпадає з диференціальним оператором при X_{вих с} (t) в (5.16). З огляду на це характеристичне рівняння доцільно записувати зразу по (5.16), прирівнюючи до нуля диференціальний оператор при вихід­ній величині.

(5.23)

В цьому рівнянні буква Р означає не символ диференцію­вання, а довільне комплексне число.

Розв’язок характеристичного рівняння (5.23) вміщує n коренів, які можуть бути дійсними, попарно спряженими комплекс­ними, попарно спряженими уявними і нульовими. В загальному ви­падку корені дорівнюють

(5.24)

Корені з від'ємними дійсними частинами називають лівими, так як вони на комплексній площині коренів розташовані зліва від уявної осі. Корені з додатними дійсними частинами - правими.

Для лінійних систем умови стійкості можна сформулювати таким чином: для того щоб лінійна система була асимтотично стій­кою необхідно і достатньо, щоб корені її характеристичного рів­няння були лівими.

Це легко пояснити таким чином, при дійсних різних коренях характеристичного рівняння (5.23) розв’язок буде мати вигляд:

(5.25)

де Р_і - корені характеристичного рівняння;

С_і - постійні інтег­рування, які визначаються із початкових умов.

Лівим (від’ємним) кореням Р_і=a_і<0 відповідають зату­хаючі експоненти, правим (додатнім) кореням a_і>0 - зрос­таючі експоненти, нульовим кореням a_і=0 - прямі, парале­льні осі часу.

Легко впевнитись в тому, що в випадку комплексних спряжених коренів отримаємо коливні процеси. Причому, при a_і<0 будемо мати затухаючі коливання, при a_і>0 - коливання, які розхо­дяться, при a_і=0 - незатухаючі коливання. В випадку крат­них (однакових) коренів процес також затухне, якщо a_і<0.

Отже, для стійкості лінійних систем необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння були лівими, тобто були від’ємними або мали від’ємну частину. Знаходячи корені просто лише для характеристичних рівнянь першої і другої степеней. Для рівнянь третьої і четвертої степеней існують загальні вирази для коренів, але вони громіздкі і мало придатні для практичного використання. Для рівнянь більш високих степеней, які відповідають більшості систем автоматич­ного регулювання, взагалі неможливо через коефіцієнти характе­ристичного рівняння записати загальний вираз для коренів. Зва­жаючи на це, в теорії систем використовують правила, які доз­воляють визначити знак коренів (стійкість) без розв’язання ха­рактеристичного рівняння. Їх називають критеріями стійкості.

Критерій стійкості дозволяє не тільки встановити факт стій­кості або нестійкості системи, але і визначити характер впли­ву на стійкість тих чи інших параметрів і структурних змін САР. Відрізняють алгебраїчні і частотні критерії стійкості. Всі критерії стійкості еквівалентні. Вибір того чи іншого критерію стійкості в кожному конкретному випадку обумовлюється особливос­тями системи і максимальним спрощенням досліджень.