Читайте также:
|
|
На основі визначення стійкості О.М.Ляпунова можна знайти умови стійкості лінійних і лінеаризованих систем автоматичного керування.
Диференціальне рівняння лінійної системи має вигляд:
(5.16)
де а0, а1,..., аn i в0, в1,...,вm - постійні коефіцієнти;
оператор диференціювання;
Xвих(t) - вихідна величина;
Xвх(t) - керуюче діяння.
Рішення рівняння (5.16) являє собою зміну регульованої величини Xвих(t) при довільному зовнішньому діянні Xвх(t)
(5.17)
Перший доданок Xвих в (t) являє собою вимушену складову, яка має характер, аналогічний правій частині рівняння (5.16). Її отримують як часткове рішення неоднорідного диференціального рівняння (5.16) з правою частиною
(5.18)
Другий доданок Xвих с (t) - перехідна (вільна) складова. Її знаходять загальним рішенням однорідного диференціального рівняння (5.16) без правої частини
(5.19)
В теорії автоматичного керування за незбурений рух системи приймають вимушену складову перехідного процесу Xвих с (t). Збуреним рухом тоді буде люба зміна регульованої величини Xвих(t).
Відхилення або варіацію являє собою вільна складова, яка із (5.17) буде дорівнювати:
(5.20)
По О.М.Ляпунову збуреннями будуть початкові значення Xвих с (t) при t=t0 які виникли під дією додаткових зовнішніх сил, тобто Xвих с о. Збурений рух буде описуватись диференціальними рівняннями першого наближення. В даному випадку - це рівняння (5.19).
По О.М. Ляпунову система буде асимптотично стійкою, якщо вільна складова буде прагнути до нуля Xвих с (t)®0 при t®¥. Для пошуку цієї складової необхідно розв’язати диференціальне рівняння (5.19)
(5.21)
Розв’язок рівняння (5.21) буде мати вигляд Xвих с (t)= . Продиференціюємо його n разів, підставимо в (5.21) і після скорочення на отримаємо
(5.22)
Алгебраїчне рівняння (5.22) називають характеристичним. Його корені Р1, Р2,...,Рn визначають характер перехідного процесу в системі. По вигляду ліва частина (5.22) співпадає з диференціальним оператором при Xвих с (t) в (5.16). З огляду на це характеристичне рівняння доцільно записувати зразу по (5.16), прирівнюючи до нуля диференціальний оператор при вихідній величині.
(5.23)
В цьому рівнянні буква Р означає не символ диференціювання, а довільне комплексне число.
Розв’язок характеристичного рівняння (5.23) вміщує n коренів, які можуть бути дійсними, попарно спряженими комплексними, попарно спряженими уявними і нульовими. В загальному випадку корені дорівнюють
(5.24)
Корені з від'ємними дійсними частинами називають лівими, так як вони на комплексній площині коренів розташовані зліва від уявної осі. Корені з додатними дійсними частинами - правими.
Для лінійних систем умови стійкості можна сформулювати таким чином: для того щоб лінійна система була асимтотично стійкою необхідно і достатньо, щоб корені її характеристичного рівняння були лівими.
Це легко пояснити таким чином, при дійсних різних коренях характеристичного рівняння (5.23) розв’язок буде мати вигляд:
(5.25)
де Рі - корені характеристичного рівняння;
Сі - постійні інтегрування, які визначаються із початкових умов.
Лівим (від’ємним) кореням Рі=aі<0 відповідають затухаючі експоненти, правим (додатнім) кореням aі>0 - зростаючі експоненти, нульовим кореням aі=0 - прямі, паралельні осі часу.
Легко впевнитись в тому, що в випадку комплексних спряжених коренів отримаємо коливні процеси. Причому, при aі<0 будемо мати затухаючі коливання, при aі>0 - коливання, які розходяться, при aі=0 - незатухаючі коливання. В випадку кратних (однакових) коренів процес також затухне, якщо aі<0.
Отже, для стійкості лінійних систем необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння були лівими, тобто були від’ємними або мали від’ємну частину. Знаходячи корені просто лише для характеристичних рівнянь першої і другої степеней. Для рівнянь третьої і четвертої степеней існують загальні вирази для коренів, але вони громіздкі і мало придатні для практичного використання. Для рівнянь більш високих степеней, які відповідають більшості систем автоматичного регулювання, взагалі неможливо через коефіцієнти характеристичного рівняння записати загальний вираз для коренів. Зважаючи на це, в теорії систем використовують правила, які дозволяють визначити знак коренів (стійкість) без розв’язання характеристичного рівняння. Їх називають критеріями стійкості.
Критерій стійкості дозволяє не тільки встановити факт стійкості або нестійкості системи, але і визначити характер впливу на стійкість тих чи інших параметрів і структурних змін САР. Відрізняють алгебраїчні і частотні критерії стійкості. Всі критерії стійкості еквівалентні. Вибір того чи іншого критерію стійкості в кожному конкретному випадку обумовлюється особливостями системи і максимальним спрощенням досліджень.
Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 27 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |