Студопедия  
Главная страница | Контакты | Случайная страница

АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Умови стійкості лінійних /лінеаризованих/ систем автоматичного регулювання

Читайте также:
  1. DSM — система классификации Американской психиатрической ассоциации
  2. EIS и DSS системы.
  3. ERP-система
  4. GRID- системи
  5. I Объективные характеристики (потребление материальных благ; продолжительность жизни; система образования; время труда; показатель преступности);
  6. I. Общеметодологические (общесистемные) принципы.
  7. I. Судебно-следственная практика формирования системы доказательств по уголовному делу (постановка проблемы).
  8. I.1. Инновационный подход к системе освоения ценностей физической культуры и спорта.
  9. ICQ - это способ общения в сети, который позволяет вести беседу с любым зарегистрированным в системе ICQ и подключенным в данный момент к Интернету пользователем.
  10. Internet/Intranet-технологии в корпоративных информа­ционных системах.

На основі визначення стійкості О.М.Ляпунова можна знайти умови стійкості лінійних і лінеаризованих систем автоматичного керування.

Диференціальне рівняння лінійної системи має вигляд :

(5.16)

де а0, а1,..., аn i в0, в1,...,вm - постійні коефіцієнти ;

оператор диференціювання;

Xвих(t) - вихідна величина;

Xвх(t) - керуюче діяння.

Рішення рівняння (5.16) являє собою зміну регульованої ве­личини Xвих(t) при довільному зовнішньому діянні Xвх(t)

(5.17)

Перший доданок Xвих в (t) являє собою вимушену складову, яка має характер, аналогічний правій частині рівняння (5.16). Її отримують як часткове рішення неоднорідного диференціально­го рівняння (5.16) з правою частиною

(5.18)

Другий доданок Xвих с (t) - перехідна (вільна) складова. Її знаходять загальним рішенням однорідного диференціального рів­няння (5.16) без правої частини

(5.19)

В теорії автоматичного керування за незбурений рух системи приймають вимушену складову перехідного процесу Xвих с (t). Збуреним рухом тоді буде люба зміна регульованої величини Xвих(t) .

Відхилення або варіацію являє собою вільна скла­дова, яка із (5.17) буде дорівнювати:

(5.20)

По О.М.Ляпунову збуреннями будуть початкові значення Xвих с (t) при t=t0 які виникли під дією додатко­вих зовнішніх сил, тобто Xвих с о. Збурений рух буде описуватись диференціальними рівняннями першого наближення. В даному випадку - це рівняння (5.19).

По О.М. Ляпунову система буде асимптотично стійкою, якщо вільна складова буде прагнути до нуля Xвих с (t)®0 при t®¥ . Для пошуку цієї складової необхідно розв’язати диференціальне рівняння (5.19)

(5.21)

Розв’язок рівняння (5.21) буде мати вигляд Xвих с (t)= . Продиференціюємо його n разів, підставимо в (5.21) і після скорочення на отримаємо

(5.22)

Алгебраїчне рівняння (5.22) називають характеристичним. Його корені Р1, Р2,...,Рn визначають характер перехідного процесу в системі. По вигляду ліва частина (5.22) співпадає з диференціальним оператором при Xвих с (t) в (5.16). З огляду на це характеристичне рівняння доцільно записувати зразу по (5.16), прирівнюючи до нуля диференціальний оператор при вихід­ній величині.

(5.23)

В цьому рівнянні буква Р означає не символ диференцію­вання, а довільне комплексне число.

Розв’язок характеристичного рівняння (5.23) вміщує n коренів, які можуть бути дійсними, попарно спряженими комплекс­ними, попарно спряженими уявними і нульовими. В загальному ви­падку корені дорівнюють

(5.24)

Корені з від'ємними дійсними частинами називають лівими, так як вони на комплексній площині коренів розташовані зліва від уявної осі. Корені з додатними дійсними частинами - правими.

Для лінійних систем умови стійкості можна сформулювати таким чином: для того щоб лінійна система була асимтотично стій­кою необхідно і достатньо, щоб корені її характеристичного рів­няння були лівими.

Це легко пояснити таким чином, при дійсних різних коренях характеристичного рівняння (5.23) розв’язок буде мати вигляд:

(5.25)

де Рі - корені характеристичного рівняння;

Сі - постійні інтег­рування, які визначаються із початкових умов.

Лівим (від’ємним) кореням Рі=aі<0 відповідають зату­хаючі експоненти, правим (додатнім) кореням aі>0 - зрос­таючі експоненти, нульовим кореням aі=0 - прямі, парале­льні осі часу.

Легко впевнитись в тому, що в випадку комплексних спряжених коренів отримаємо коливні процеси. Причому, при aі<0 будемо мати затухаючі коливання, при aі>0 - коливання, які розхо­дяться, при aі=0 - незатухаючі коливання. В випадку крат­них (однакових) коренів процес також затухне, якщо aі<0.

Отже, для стійкості лінійних систем необхідно і достатньо, щоб всі корені характеристичного рівняння були лівими, тобто були від’ємними або мали від’ємну частину. Знаходячи корені просто лише для характеристичних рівнянь першої і другої степеней. Для рівнянь третьої і четвертої степеней існують загальні вирази для коренів, але вони громіздкі і мало придатні для практичного використання. Для рівнянь більш високих степеней, які відповідають більшості систем автоматич­ного регулювання, взагалі неможливо через коефіцієнти характе­ристичного рівняння записати загальний вираз для коренів. Зва­жаючи на це, в теорії систем використовують правила, які доз­воляють визначити знак коренів (стійкість) без розв’язання ха­рактеристичного рівняння. Їх називають критеріями стійкості.

Критерій стійкості дозволяє не тільки встановити факт стій­кості або нестійкості системи, але і визначити характер впли­ву на стійкість тих чи інших параметрів і структурних змін САР. Відрізняють алгебраїчні і частотні критерії стійкості. Всі критерії стійкості еквівалентні. Вибір того чи іншого критерію стійкості в кожному конкретному випадку обумовлюється особливос­тями системи і максимальним спрощенням досліджень.




Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 9 | Нарушение авторских прав

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | 58 | 59 | 60 | 61 | 62 | 63 | 64 | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 | 77 | 78 | 79 | 80 | 81 | <== 82 ==> | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98 | 99 | 100 | 101 |


lektsii.net - Лекции.Нет - 2014-2023 год. (0.019 сек.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав