Читайте также:
|
|
Объект управления способен воспринимать внешние воздействия и реагировать на них изменением значений выходных величин. Описание объекта управления в теории автоматического управления состоит в выражении связи реакции объекта, как функции времени и ее причин, входных воздействий. Как ранее было сказано, эта связь в общем случае может быть представлена следующим операторным уравнением
.
Существуют различные способы задания оператора объекта.
Наиболее общей формой представления оператора является определение его системой дифференциальных уравнений, описывающих поведение рассматриваемого объекта.
Будем рассматривать только объекты с сосредоточенными параметрами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающей модель объекта, непосредственно не определяется количеством входов и выходов, а зависит от операторов, преобразующих входные сигналы в выходные.
Наиболее универсальная модель, основанная на дифференциальных уравнениях, описывается выражением
, (3.1)
где p - порядок модели (p > l); ap=1;
ai и bj - постоянные коэффициенты (параметры модели);
- производные соответственно выходного и входного сигналов.
В линейном случае коэффициенты ai и bj не зависят от x и y и их производных. Если, кроме того, они не зависят от времен, то получается уравнение с постоянными коэффициентами. Если эти коэффициенты зависят от времени, то уравнение называется линейным уравнением с переменными коэффициентами.
Для описания динамики объектов, которые характеризуются дискретными значениями входных и выходных сигналов, то есть функционирование которых представляется для дискретного времени tk=kT (в данном случае T – интервал дискретизации), вместо дифференциальных уравнений можно воспользоваться разностными уравнениями. Обозначив дискретные значения входного и выходного сигналов соответственно
разностное уравнение (аналог дифференциального уравнения) запишем в виде
(3.3)
При анализе стохастических систем, встречающихся в самых различных областях науки и техники, исходными данными для анализа являются реализации случайного процесса генерируемого этой системой. Полученные в виде графиков, или осциллограмм, реализации случайного процесса обрабатываются и представляются в виде временного ряда. Временной ряд содержит ординаты реализации случайного процесса снятые в дискретные и равноотстоящие моменты времени. Следовательно, о свойствах исходной непрерывной системы судят по результатам цифровой обработки сигналов (временных рядов) формируемых системой. В связи с этим широкое распространение получили цифровые параметрические стохастические модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС-модели). В современных пакетах моделирования используются наименования на английском языке: модели авторегрессии AR (AutoRegressive) и ARX (AutoRegressive with eXternal input), модель авторегрессии скользящего среднего - ARMAX (AutoRegressive-MovingAverage with eXternal input). Эти модели достаточно просты и включают обычно небольшое число параметров, которые необходимо оценивать по наблюдениям. АРСС-модели могут быть использованы как для изучения временных рядов, так и при определении статистических характеристик этих рядов.
Ниже приведены несколько распространенных дискретных моделей объектов для временной области, учитывающих действие шума наблюдения (моменты дискретного времени обозначены тем же символом t, что и непрерывное время, здесь t = 0, 1, 2…).
Запишем эти уравнения, используя z – преобразование
(1 + a1z-1 + a2z-2 + …+ anaz-na)Y(z) = (b1 + b2z-1 + b3z-2 + …+ bnbz—nb+1)U(z),
где оператор z-1 = e-pT представляет собой оператор задержки, то есть
z -1uk = uk-1, z -2uk = uk-2 и т.д.
Самым простым описанием считается модель авторегрессии AR:
A(z) y(t) = e(t),
где
A(z) = 1 + a1z-1+ a2z-2 +...+ anaz-na.
Здесь и ниже e(t) – дискретный белый шум (величина ошибки e (k) отражает наличие погрешности измерений выхода и неточность оценок параметров модели).
Более сложная – ARX-модель (AutoRegressive with eXternal input)
A(z) y(t) = B(z) u(t) + e(t)
или в развернутом виде
y(t) + a1y(t-1) +...+ anay(t-n) = b1u(t) + b2u(t-1) +...+ bnbu(t-m) + e(t).
где
B(z) =b1+ b2z-1 +...+ bnbz-nb+1.
ARMAX-модель (имеет вид:
A(z) y(t) = B(z) u(t - nk) + C(z) e(t)
где nk - величина задержки (запаздывания),
C(z) = 1 +c1z-1+ c2z-2 +...+ bncz-nc.
Можно также упомянуть следующие модели:
- модель «вход-выход» (в англоязычных источниках такая модель называется «Output-Error», сокращенно ОЕ)
где F(z) = 1 +f1z-1+ f2z-2 +...+ fnfz-nf.
- модель Бокса-Дженкиса (BJ)
где D(z) = 1 +d1z-1+d2z-2 +...+ dndz-nd.
Все эти уравнения являются линейными разностными уравнениями объекта управления. Их можно рассматривать как частные случаи обобщенной параметрической модели линейной структуры
,
при этом все они допускают расширение для многомерных объектов (имеющих несколько входов и выходов).
Наиболее полно объект управления описывается в терминах пространства состояний. Под состоянием объекта понимается совокупность величин xi, полностью определяющих его положение в данный момент времени. Переменные состояния (фазовые координаты) образуют вектор состояния, переменные управления и возмущения образуют векторы управления и возмущения. Множество этих векторов составляет пространство состояний (фазовое пространство), пространство управлений и возмущений. Надо отметить, что между векторами входа, выхода и состояния существует принципиальное различие. Если все составляющие вектора входа и вектора выхода являются вполне конкретными физическими величинами, то элементами вектора состояния могут быть некоторые абстрактные переменные, физическая природа которых не всегда определена. (В качестве переменных состоянияобъектаобычновыбираются n координат (выходной сигнал y(t) и n-1 его производных).)
Для динамических систем, в которых физические процессы протекают непрерывно во времени, скорости изменения переменной состояния объекта можно также задать вектором
(3.4)
где , i=1,..,n – скорости изменения компонент многомерной переменной состояния.
В свою очередь эти скорости определяются текущими значениями переменной состояния , управлениями и возмущениями , действующими на объект
(3.5)
где - вектор функция; …, - начальные условия.
Если – нелинейная функция, то решение уравнения (3.5) усложняется, так как сводится к интегрированию системы нелинейных ДУ. Так как методы интегрирования систем ДУ хорошо разработаны только для линейных систем, то перед работой с ними необходимо линеаризовать в окрестности рабочей точки, которой соответствует установившейся режим работы объекта. Для линеаризованной функции ДУ вида (3.5) с учетом воздействия среды можно представить в векторной форме:
(3.6)
где A(t), B(t), E(t) – матрицы преобразования, элементы которых в общем случае являются функциями времени.
Применяя преобразование Лапласа к линейным дифференциальным уравнениям при нулевых начальных условиях, получим передаточные функции объекта. Напомним, что передаточной функцией линейного стационарного динамического объекта называется отношение преобразования Лапласа выходного сигнала (регулируемого) к преобразованию Лапласа входного сигнала (задающего) при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях. Передаточная функция для линейных и линеаризованных систем является еще одной формой представления их математических моделей.
Динамические характеристики объекта управления могут быть определены с помощью частотных характеристик (амплитудной и фазовой), построенных в зависимости от круговой частоты. В отличие от методов, основанных на решении дифференциальных уравнений, частотный метод является не только расчетным, но и экспериментальным. Подавая на вход объекта синусоидальные сигналы с постоянной амплитудой, находят относительную амплитуду выходного сигнала и сдвиг фазы. Меняя частоту входного сигнала, определяют несколько значений относительных амплитуд (амплитудная частотная характеристика) и сдвигов фаз (фазовая частотная характеристика).
Амплитуду и диапазон изменения частоты синусоидального входного сигнала выбирают в зависимости от динамических особенностей объекта. Для того, чтобы установить диапазон линейности объекта, необходимо снимать частотные характеристики при различных амплитудах входного сигнала. Независимость амплитудной и фазовой частотных характеристик от амплитуды входного сигнала указывает на линейность рассматриваемого объекта.
Переходная (реакция объекта на ступенчатое воздействие ) и импульсная переходная (реакция объекта на дельта-функцию) функции также являются динамическими характеристиками объекта. Зная эти функции можно получить передаточную функцию объекта.
Дата добавления: 2015-04-12; просмотров: 113 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |