Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Лекция_3. Основные операторы моделей объектов управления

Объект управления способен воспринимать внешние воздействия и реагировать на них изменением значений выходных величин. Описание объекта управления в теории автоматического управления состоит в выражении связи реакции объекта, как функции времени и ее причин, входных воздействий. Как ранее было сказано, эта связь в общем случае может быть представлена следующим операторным уравнением

.

Существуют различные способы задания оператора объекта.

Наиболее общей формой представления оператора является определение его системой дифференциальных уравнений, описывающих поведение рассматриваемого объекта.

Будем рассматривать только объекты с сосредоточенными параметрами, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Порядок системы дифференциальных уравнений, описывающей модель объекта, непосредственно не определяется количеством входов и выходов, а зависит от операторов, преобразующих входные сигналы в выходные.

Наиболее универсальная модель, основанная на дифференциальных уравнениях, описывается выражением

, (3.1)

где p - порядок модели (p > l); a_p=1;

a_i и b_j - постоянные коэффициенты (параметры модели);

- производные соответственно выходного и входного сигналов.

В линейном случае коэффициенты a_i и b_j не зависят от x и y и их производных. Если, кроме того, они не зависят от времен, то получается уравнение с постоянными коэффициентами. Если эти коэффициенты зависят от времени, то уравнение называется линейным уравнением с переменными коэффициентами.

Для описания динамики объектов, которые характеризуются дискретными значениями входных и выходных сигналов, то есть функционирование которых представляется для дискретного времени t_k=kT (в данном случае T – интервал дискретизации), вместо дифференциальных уравнений можно воспользоваться разностными уравнениями. Обозначив дискретные значения входного и выходного сигналов соответственно

разностное уравнение (аналог дифференциального уравнения) запишем в виде

(3.3)

При анализе стохастических систем, встречающихся в самых различных областях науки и техники, исходными данными для анализа являются реализации случайного процесса генерируемого этой системой. Полученные в виде графиков, или осциллограмм, реализации случайного процесса обрабатываются и представляются в виде временного ряда. Временной ряд содержит ординаты реализации случайного процесса снятые в дискретные и равноотстоящие моменты времени. Следовательно, о свойствах исходной непрерывной системы судят по результатам цифровой обработки сигналов (временных рядов) формируемых системой. В связи с этим широкое распространение получили цифровые параметрические стохастические модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС-модели). В современных пакетах моделирования используются наименования на английском языке: модели авторегрессии AR (AutoRegressive) и ARX (AutoRegressive with eXternal input), модель авторегрессии скользящего среднего - ARMAX (AutoRegressive-MovingAverage with eXternal input). Эти модели достаточно просты и включают обычно небольшое число параметров, которые необходимо оценивать по наблюдениям. АРСС-модели могут быть использованы как для изучения временных рядов, так и при определении статистических характеристик этих рядов.

Ниже приведены несколько распространенных дискретных моделей объектов для временной области, учитывающих действие шума наблюдения (моменты дискретного времени обозначены тем же символом t, что и непрерывное время, здесь t = 0, 1, 2…).

Запишем эти уравнения, используя z – преобразование

(1 + a₁z^-1 + a₂z^-2 + …+ a_naz^-na)Y(z) = (b₁ + b₂z^-1 + b₃z^-2 + …+ b_nbz^—nb+1)U(z),

где оператор z^-1 = e^-pT представляет собой оператор задержки, то есть

z ^-1u_k = u_k-1, z ^-2u_k = u_k-2 и т.д.

Самым простым описанием считается модель авторегрессии AR:

A(z) y(t) = e(t),

где

A(z) = 1 + a₁z^-1+ a₂z^-2 +...+ a_naz^-na.

Здесь и ниже e(t) – дискретный белый шум (величина ошибки e (k) отражает наличие погрешности измерений выхода и неточность оценок параметров модели).

Более сложная – ARX-модель (AutoRegressive with eXternal input)

A(z) y(t) = B(z) u(t) + e(t)

или в развернутом виде

y(t) + a₁y(t-1) +...+ a_nay(t-n) = b₁u(t) + b₂u(t-1) +...+ b_nbu(t-m) + e(t).

где

B(z) =b₁+ b₂z^-1 +...+ b_nbz^-nb+1.

ARMAX-модель (имеет вид:

A(z) y(t) = B(z) u(t - nk) + C(z) e(t)

где nk - величина задержки (запаздывания),

C(z) = 1 +c₁z^-1+ c₂z^-2 +...+ b_ncz^-nc.

Можно также упомянуть следующие модели:

- модель «вход-выход» (в англоязычных источниках такая модель называется «Output-Error», сокращенно ОЕ)

где F(z) = 1 +f₁z^-1+ f₂z^-2 +...+ f_nfz^-nf.

- модель Бокса-Дженкиса (BJ)

где D(z) = 1 +d₁z^-1+d₂z^-2 +...+ d_ndz^-nd.

Все эти уравнения являются линейными разностными уравнениями объекта управления. Их можно рассматривать как частные случаи обобщенной параметрической модели линейной структуры

,

при этом все они допускают расширение для многомерных объектов (имеющих несколько входов и выходов).

Наиболее полно объект управления описывается в терминах пространства состояний. Под состоянием объекта понимается совокупность величин x_i, полностью определяющих его положение в данный момент времени. Переменные состояния (фазовые координаты) образуют вектор состояния, переменные управления и возмущения образуют векторы управления и возмущения. Множество этих векторов составляет пространство состояний (фазовое пространство), пространство управлений и возмущений. Надо отметить, что между векторами входа, выхода и состояния существует принципиальное различие. Если все составляющие вектора входа и вектора выхода являются вполне конкретными физическими величинами, то элементами вектора состояния могут быть некоторые абстрактные переменные, физическая природа которых не всегда определена. (В качестве переменных состоянияобъектаобычновыбираются n координат (выходной сигнал y(t) и n-1 его производных).)

Для динамических систем, в которых физические процессы протекают непрерывно во времени, скорости изменения переменной состояния объекта можно также задать вектором

(3.4)

где , i=1,..,n – скорости изменения компонент многомерной переменной состояния.

В свою очередь эти скорости определяются текущими значениями переменной состояния , управлениями и возмущениями , действующими на объект

(3.5)

где - вектор функция; …, - начальные условия.

Если – нелинейная функция, то решение уравнения (3.5) усложняется, так как сводится к интегрированию системы нелинейных ДУ. Так как методы интегрирования систем ДУ хорошо разработаны только для линейных систем, то перед работой с ними необходимо линеаризовать в окрестности рабочей точки, которой соответствует установившейся режим работы объекта. Для линеаризованной функции ДУ вида (3.5) с учетом воздействия среды можно представить в векторной форме:

(3.6)

где A(t), B(t), E(t) – матрицы преобразования, элементы которых в общем случае являются функциями времени.

Применяя преобразование Лапласа к линейным дифференциальным уравнениям при нулевых начальных условиях, получим передаточные функции объекта. Напомним, что передаточной функцией линейного стационарного динамического объекта называется отношение преобразования Лапласа выходного сигнала (регулируемого) к преобразованию Лапласа входного сигнала (задающего) при нулевых начальных условиях и равных нулю остальных воздействиях. Передаточная функция для линейных и линеаризованных систем является еще одной формой представления их математических моделей.

Динамические характеристики объекта управления могут быть определены с помощью частотных характеристик (амплитудной и фазовой), построенных в зависимости от круговой частоты. В отличие от методов, основанных на решении дифференциальных уравнений, частотный метод является не только расчетным, но и экспериментальным. Подавая на вход объекта синусоидальные сигналы с постоянной амплитудой, находят относительную амплитуду выходного сигнала и сдвиг фазы. Меняя частоту входного сигнала, определяют несколько значений относительных амплитуд (амплитудная частотная характеристика) и сдвигов фаз (фазовая частотная характеристика).

Амплитуду и диапазон изменения частоты синусоидального входного сигнала выбирают в зависимости от динамических особенностей объекта. Для того, чтобы установить диапазон линейности объекта, необходимо снимать частотные характеристики при различных амплитудах входного сигнала. Независимость амплитудной и фазовой частотных характеристик от амплитуды входного сигнала указывает на линейность рассматриваемого объекта.

Переходная (реакция объекта на ступенчатое воздействие ) и импульсная переходная (реакция объекта на дельта-функцию) функции также являются динамическими характеристиками объекта. Зная эти функции можно получить передаточную функцию объекта.