Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Перестановки

Сполуки без повторень

Задачі, у яких доводиться відповідати на запитання: скількома різними способами можна виконати те, що вимагається, називають комбінаторними.

Розділ математики, в якому вивчаються методи розв’язування комбінаторних задач, називається комбінаторикою.

Під час розв’язування комбінаторних задач доводиться розглядати скінченні множини, складені з елементів будь-якої природи, та їх підмножини. Залежно від умови задачі розглядаються скінченні множини, в яких істотним є або порядок елементів, або їх склад, або перше і друге одночасно. Такі скінченні множини (сполуки) дістали певну назву: перестановки, розміщення, комбінації.

Скінченні впорядковані множини – це скінченні множини, для яких суттєвим є порядок розміщення їх елементів.

Для позначення впорядкованих множин використовують круглі дужки.

Наприклад: (а; b; с), (1; 4; 9) – скінченні впорядковані множини.

Розглянемо кожний вид сполук.

Перестановки

Будь-яка впорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів.

Наприклад: з елементів множини А={3; 8; 5} можна утворити перестановки (3; 8; 5), (5; 8; 3), (5; 3; 8), (3; 5; 8), (8; 3; 5), (8; 5; 3).

Перестановки мають такі ознаки:

1) усі елементи різні;

2) кількість елементів однакова;

3) порядок елементів важливий.

Число перестановок із n елементів дорівнює , тобто .

, .

Увага: .

Наприклад:Скількома способами можна скласти список із п’яти студентів?

Розв’язання.

Шукане число дорівнює числу перестановок з 5 різних елементів .

Відповідь:120 способами.

Наприклад:Скільки семицифрових чисел, кратних 5, можна скласти з цифр 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, щоб цифри в числі не повторювались.

Розв’язання. Щоб число, складене із заданих цифр, ділилось на 5, необхідно і достатньо, щоб цифра 5 стояла на останньому місці. Решта – шість цифр – можуть стояти в будь-якому порядку на місцях, що залишились. Отже, шукана кількість семицифрових чисел, кратних 5, дорівнює числу перестановок з 6 елементів, тобто .

Відповідь:720 чисел.

Наприклад: Скоротити дріб .

Розв’язання. .

Відповідь: n.