Читайте также:
|
1. Строят прямые, соответствующие стратегиям второго (первого) игрока.
2. Определяют нижнюю (верхнюю) границу выигрыша.
3. Находят две стратегии второго (первого) игрока, которым соответствуют две прямые, пересекающиеся в точке с максимальной (минимальной) ординатой.
4. Определяют цену игры и оптимальные стратегии.
Поясним метод на примерах.
Пример 1.
Рассмотрим игру, заданную платёжной матрицей.
На плоскости хОy введём систему координат и на оси Ох отложим отрезок единичной длины А1, А2, каждой точке которого поставим в соответствие некоторую смешанную стратегию игрока 1 (х, 1 - х). В частности, точке А1 (0;0) отвечает стратегия А1, точке А2 (1;0) – стратегия А2 и т.д.
В точках А1 и А2 восстановим перпендикуляр и на полученных прямых будем откладывать выигрыш игроков. На первом перпендикуляре (в данном случае он совпадает с осью 0y) отложим выигрыш игрока 1 при стратегии А1,а на втором – при стратегии А2. Если игрок 1 применит стратегию А1,то выиграет при стратегии В1 игрока 2 – 2, при стратегии В2– 3, а при стратегии В3– 11. Числам 2,3,11 на оси 0х соответствуют точки В1,В2 и В3.
Если же игрок 1 применит стратегию А2,то его выигрыш при стратегии В1 равен 7,при В2– 5,а при В3– 2.Эти числа определяют точки В¢1,В2¢,В3¢на перпендикуляре, восстановленном в точке А2.Соединяя между собой точки В1 и В¢1,В2 и В¢2,В3 и В¢3 получим три прямые,расстояние до которых от оси 0х определяет средний выигрыш при любом сочетании соответствующих стратегий.Например,расстояние от любой точки отрезка В1В¢1 до оси 0х определяет средний выигрыш u1 при любом сочетании стратегий А1 А2 (с частотами х и 1–х) и стратегией В1 игрока 2. Это расстояние равно
2х1 + 6(1 -х2) = u1
Таким образом, ординаты точек, принадлежащих ломанной В1 M NВ¢3 определяют минимальный выигрыш игрока 1 при применении им любых смешанных стратегий. Эта минимальная величина является максимальной в точке N; следовательно этой точке соответствует оптимальная стратегия Х* =(х,1-х),а её ордината равна цене игры u. Координаты точки N находим как точку пересечения прямых В2 B¢2 и В3 B¢3.
Соответствующие два уравнения имеют вид
Следовательно Х = (
), при цене игры u = 
. Таким образом мы можем найти оптимальную стратегию при помощи матрицы
Оптимальные стратегии для игрока 2 можно найти из системы
и, следовательно, Y = (0; 
; 
). (Из рисунка видно, что стратегия B1 не войдёт в оптимальную стратегию.
Пример 2. Найти решение игры, заданной матрицей
Решение. Матрица имеет размерность 2 х 4. Строим прямые, соответствующие стратегиям игрока 1. Ломанная А1 K А¢4 соответствует верхней границе выигрыша игрока 1, а отрезок NK–цене игры. Решение игры таково
U = (
; 
); Х = (
; 0; 0; 
); u = 
.
Дата добавления: 2015-04-20; просмотров: 164 | Поможем написать вашу работу | Нарушение авторских прав |