Главная страница | Контакты | Случайная страница Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Неопределённую систему решить также методом Жордана-Гаусса

Линейная алгебра

Контрольная работа, задания для студентов на межсессионный период

1. Решить системы методом Гаусса:

a) б)

в)

Неопределённую систему решить также методом Жордана-Гаусса

2. Решить систему

используя:

а) матричный метод;

б) правило Крамера.

3. Исследовать систему на совместность и, в случае совместности, найти её решение в виде суммы частного и общего решения приведённой однородной:

а) б)

4. Дан треугольник ABC, E, F и G ¾ середины AB, BC и AC соответственно. Выразить , , через = , = .

5. Найти линейную зависимость между векторами:

а) =(0, 1, 1), =(1, 2, -1), =(2, 2, 1), =(1, 3, 5);

б) =(1, 2, 1), =(3, -1, 1), =(2, 0, -3), =(5, -7, 4).

6. На плоскости даны векторы =(1, 3) и =(-1, 2). Доказать, что они образуют базис на плоскости и найти координаты вектора =(3, 4) в этом базисе.

7. Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними углы, равные ; зная, что | |=3, | |=5, | |=8, вычислить: а) (3 -2 , +3 ); б) (2 + - )².

8. Найти вектор , если он перпендикулярен векторам =(2, 3, -1) и =(1, -2, 3) и удовлетворяет условию (, 2 - + )= -6.

9. Вычислить внутренние углы треугольника ABC и убедиться, что этот треугольник ¾ равнобедренный, если известно, что =(2, 1, 2) и =(-3, 1, -4).

10. Относительно прямоугольной системы координат написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и а) параллельна прямой y =4 x -3; б) перпендикулярна прямой y = x +1; в) образует угол в 45^о с прямой y =2 x +5.

11. Даны вершины треугольника: A (4, 6), B (-4, 0), C (-1, -4). Составить уравнения: а) сторон треугольника; б) прямых, параллельных сторонам и проходящих через вершины треугольника; в) высот. Найти длины высот.

12. Найти косинус угла между векторами и , если известны координаты точек A (1, -2, 3), B (0, -1, 2), C (3, -4, 5).

13. Даныточки A ₁(1, 3, 6), A ₂(2, 2, 1), A ₃(-1, 0, 1), A ₄(-4, 6, -3). Найти: а) уравнения плоскости A ₁ A ₂ A ₃ в параметрической форме и общем виде; б) расстояние от точки A ₄ до плоскости A ₁ A ₂ A ₃; в) написать уравнение плоскости, проходящей через точку A ₂ перпендикулярно вектору .

14. Найти угол между плоскостями x -3 y +5=0, 2 x - y +5 z -16=0, а также уравнение прямой пересечения этих плоскостей.

15. Найти точку пересечения прямой = = и плоскости x +2 y +3 z -14=0.

16. Найти координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением x ²+ y ²-2 x -2 y +1=0.

17. Составить каноническое уравнение эллипса, если известно, что расстояние между фокусами равно 6, а большая полуось равна 5.

18. Написать уравнение параболы, если фокус находится в точке F (-7; 0), уравнение директрисы x -7=0.

19. Построить кривые второго порядка ± =1. Определить эксцентриситеты этих кривых.